Enunciado

Dois astros iguais de massa m , A   e   B , são acelerados um em direção ao outro, a partir do repouso, pela força gravitacional mútua. A distância inicial entre os centros dos dois astros é R i . Suponha que um observador se encontra em um referencial inercial estacionário em relação ao centro de massa deste sistema de dois corpos. Use a lei de conservação da energia mecânica ( K f + U f = K i + U i ) para determinar as seguintes grandezas quando a distância entre os centros é 0,5 R i : (a) a energia cinética total do sistema, (b) a energia cinética de cada astro, (c) a velocidade escalar de cada astro em relação ao observador e (d) a velocidade do astro B em relação ao astro A .

Em seguida, suponha que o referencial do observador está ligado ao astro A (ou seja, o observador se encontra no astro A ). Nesse caso, o observador vê o corpo B acelerar em sua direção a partir do repouso. Neste referencial, use novamente a relação ( K f + U f = K i + U i ) para determinar as seguintes grandezas quando a distância entre os centros é 0,5 R i : (e) a energia cinética do astro B e (f) a velocidade escalar do astro B em relação ao astro A . (g) Por que as respostas dos itens (d) e (f) são diferentes? Qual das duas respostas está correta?

Passo 1

Vamos começar desenhando a situação:

Ao longo do exercício, vamos aplicar a lei de conservação de energia entre esses dois estados:

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Passo 2

A letra (a) quer a energia cinética total do sistema. Como os dois astros partem do repouso, K 1 = 0 , ou seja:

U 1 = K t o t a l + U 2

E substituindo as fórmulas ficamos com:

- G m 2 R i = K t o t a l - G m 2 0,5 R i

K t o t a l = G m 2 1 0,5 R i - 1 R i = G m 2 R i

E essa é a resposta da letra (a).

Passo 3

Na letra (b), queremos a energia cinética de cada astro.

Olha, os dois astros têm a mesma massa, e estamos no referencial do centro de massa, que é “neutro”, então não tem nenhum motivo pra um astro se comportar diferente do outro.

Ou seja, podemos dizer que a energia cinética de cada astro é a metade da energia cinética total:

K i n d i v i d u a l = K t o t a l 2 = G m 2 2 R i

E essa é a resposta da letra (b).

Passo 4

Para a letra (c), queremos a velocidade escalar de cada astro quando a distância entre os dois é 0,5   R i .

Acabamos de calcular a energia cinética de cada corpo nesse momento, para achar a velocidade que corresponde a isso:

G m 2 2 R i = m v 2 2

G m R i = v 2

v = G m R i

Passo 5

A letra (d) quer a velocidade do astro B em relação ao astro A nesse momento.

Já falamos que os dois astros se comportam de forma simétrica, como se um fosse um espelho do outro. Nesses casos, assim como em uma colisão frontal, a velocidade escalar de um em relação ao outro é simplesmente o dobro da velocidade escalar em relação ao centro de massa:

v r e l = 2 v = 2 G m R i

E essa é a resposta da letra (d).

Passo 6

A partir da letra (e), vamos basicamente refazer os outros itens colocando o referencial no astro A .

Quando colocamos o referencial em um objeto, sempre consideramos tudo como se esse objeto estivesse parado, ou seja, vamos considerar tudo como se o astro A estivesse parado, e o resto do mundo se movendo.

Como a energia cinética total do sistema deve ser a mesma, e a do astro A deve ser nula, toda a energia do sistema vai estar concentrada no astro B :

K B ' = K t o t a l = G m 2 R i

E essa é a resposta da letra (e).

Passo 7

E na letra (f), queremos a velocidade escalar do astro B em relação ao astro A nesse mesmo momento.

Basta calcular a velocidade associada à energia cinética que acabamos de calcular:

K = m v ' 2 2 = G m 2 R i

v ' 2 = 2 G m R i

v ' = 2 G m R i

Passo 8

Finalmente, a letra (g) pede para respondermos qual das duas respostas (a da letra (d) ou da letra (f)) está correta.

As duas questões pediam para calcularmos a velocidade escalar do astro B em relação ao astro A , mas partiam de cálculos de energia em referenciais diferentes.

A letra (d) dizia:

v = 2 G m R i  

E a letra (f) dizia:

v = 2 G m R i

Mas existe uma diferença fundamental entre os referenciais: como o astro A sofre aceleração, o referencial que colocamos sobre ele é não inercial, enquanto o referencial do centro de massa é inercial.

As fórmulas que usamos para energia só podem ser aplicadas corretamente em referenciais inerciais. Portanto, a resposta da letra (f) está errada.

Resposta

(a) K t o t a l = G m 2 R i

(b) K i n d i v i d u a l = G m 2 2 R i  

(c) v = G m R i  

(d) v r e l = 2 G m R i  

(e) K B ' = G m 2 R i  

(f) v ' = 2 G m R i  

(g) A resposta da letra (f) está incorreta.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Problemas de 65 a 68, você recebe a(s) equação(ções) usada(s) para solucionar cada problema. Em cada caso, você deve: a. Redigir um problema realista para o qual esta seja a equação correta. b. Fa
(a) Determine a quantidade de esforço que deve ser feito em relação a uma carga de 100k g para elevá-la a uma altura de 1000k m acima da superfície da Terra. (b) Determine a quantidade de esforço adic
Quanto trabalho é realizado pelo campo gravitacional da Lua sobre um meteoro de 1000k g , uma vez que ele vem do espaço sideral e colide sobre sua superfície?
Um satélite de massa m, inicialmente na superfície da Terra, é colocado em órbita da Terra a uma altitude h . (a) Assumindo uma órbita circular, quanto tempo ele leva para completar uma órbita? (b) Qu
Um satélite de 500k g está em uma órbita circular numa altitude de 500k m acima da superfície da Terra. Por causa do atrito do ar, ele acaba caindo na superfície da Terra, em que atinge o solo com uma