Enunciado

Duas estrelas de nêutrons estão separadas por uma distância de 1,0   .   10 10   m . Ambas têm uma massa de 1,0   .   10 30   k g e um raio de 1,0   .   10 5   m . As estrelas se encontram inicialmente em repouso. Com que velocidade estarão se movendo, em relação a este referencial de repouso, (a) quando a distância for metade do valor inicial e (b) quando estiverem na iminência de colidir.

Passo 1

(a) A situação inicial é a seguinte: duas estrelas de nêutrons separadas por uma distância d = 1,0   .   10 10   m , com massas M = 1,0   .   10 30   k g e raios R = 1,0   .   10 5   m .

Estamos falando da energia de um sistema que está mudando com o tempo: isso sugere fortemente a aplicação da lei da conservação de energia. E é isso o que faremos aqui:

K i n i c i a l + U i n i c i a l = K f i n a l + U f i n a l

Passo 2

Vamos aplicar essa lei para o sistema inteiro.

A energia cinética inicial é nula, pois as estrelas parte do repouso, então K i n i c i a l = 0 . Como queremos encontrar a velocidade ao final de certo deslocamento, queremos obter K f i n a l .

Para a energia potencial inicial, vamos usar a fórmula para a energia potencial gravitacional entre dois corpos:

U i n i c i a l = - G . M . m R = - G . M 2 d

Uma vez que ambas as massas são iguais a M e a distância entre os centros das estrelas é d .

Para a energia potencial final, podemos usar o fato de que, no nosso estado final, a distância entre os corpos é metade da distância inicial. Então:

U f i n a l = - G . M 2 d / 2 = - 2 . G . M 2 d

Substituindo tudo isso na lei de conservação de energia:

K i n i c i a l + U i n i c i a l = K f i n a l + U f i n a l

- G . M 2 d = K f i n a l - 2 . G . M 2 d

Isolando o que queremos encontrar:

K f i n a l =   - G . M 2 d + 2 . G . M 2 d = G .   M 2 d . - 1 + 2 = G . M 2 d

Passo 3

Agora é só obter a velocidade a partir da energia cinética final. É importante lembrar que estamos aplicando a lei de conservação sobre o sistema inteiro, então temos que somar as energias cinéticas das duas estrelas:

K f i n a l = M . v 2 2 + M . v 2 2 = M . v 2 = G . M 2 d

Cortando M e isolando a velocidade v , obtemos:

v = G . M d = 6,67   .     10 - 11 .   10 30 10 10   m = 6,67   .   10 9   m / s ≅ 8 1670,06   m / s

Ajustando para dois algarismos significativos (conforme o enunciado):

v = 8,2   .   10 4   m / s

Pronto!

Passo 4

Para o item (b) a lógica será muito parecida, mas como agora estamos na iminência da colisão, teremos:

d f i n a l = d 2

Portanto a única mudança em relação à conta que fizemos no item anterior vai ser na U f i n a l :

U f i n a l = - G . M 2 d = - G . M 2 2 R

Aplicando a conservação de energia:

K i n i c i a l + U i n i c i a l = K f i n a l + U f i n a l

- G . M 2 d = M v 2   - G . M 2 2 R

Cortando uma vez a massa M e isolando a velocidade v :

v =   G . M 2 R - G . M d = G . M . 1 2 R - 1 d

v = 6,67   .   10 - 11   .   10 30 1 2   .   10 5 - 1 10 10

v =   6,67   .   10 - 11   . 10 30 10 5 1 2 - 1 10 5

A fração 1 10 5 é muito pequena, então podemos simplesmente descarta-la na subtração:

v =   6,67   .   10 - 11   . 10 30 2   .   10 5 =   3,335   .   10 14 ≅ 1,82619823   .   10 7

Ajustando para dois algarismos significativos:

v = 1,8   .   10 7   m / s

Pronto!

Resposta

(a) v = 8,2   .   10 4   m / s

(b) v = 1,8   .   10 7   m / s

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