Enunciado

Nos Problemas de 65 a 68, você recebe a(s) equação(ções) usada(s) para solucionar cada problema. Em cada caso, você deve:

a. Redigir um problema realista para o qual esta seja a equação correta.

b. Fazer uma representação pictórica.

c. Solucionar o problema proposto.

2,0 × 10 30 k g v f 1 + 4,0 × 10 30 k g v f 2 = 0

1 2 2,0 × 10 30   k g v f 1 2 + 1 2 4,0 × 10 30 k g v f 2 2 - 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2,0 × 10 30 k g 4,0 × 10 30 1,0 × 10 9   m = 0 + 0 - 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2,0 × 10 30 k g 4,0 × 10 30 1 , 0 × 10 12 m

Passo 1

Esse é um “exercício” em que devemos criar um enunciado com base na expressão dada. Neste caso, temos o conjunto de equações:

  1. 2,0 × 10 30 k g v f 1 + 4,0 × 10 30 k g v f 2 = 0

1 2 2,0 × 10 30   k g v f 1 2 + 1 2 4,0 × 10 30 k g v f 2 2 - 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2,0 × 10 30 k g 4,0 × 10 30 1,0 × 10 9   m = 0 + 0 - 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2,0 × 10 30 k g 4,0 × 10 30 1,0 × 10 12 m

Vamos tentar identificar alguns termos:

  • 2,0 × 10 30   k g é uma massa elevada! Portanto, vamos pensar que é a massa de um planeta, digamos M 1 .
  • 4,0 × 10 30   k g também é uma massa elevada! Vamos pensar que é a massa de um outro planeta, digamos M 2 .
  • 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g é a constante universal da gravitação, G .
  • 1,0 × 10 12   m será a distância inicial, r i , entre os centros dos planetas.
  • 1,0 × 10 9   m será a distância final, r f , entre os centros dos planetas.
  • v f 1 será a velocidade final de M 1 .
  • v f 2 será a velocidade final de M 2
  • Os dois ' 0 ' no lado direito da segunda equação representa as energias cinéticas iniciais de cada planeta. Logo, K i 1 = K i 2 = 0 .

Assim, a primeira equação será escrita como:

M 1 v f 1 + M 2 v f 2 = 0

Note que tal equação é simplesmente a conservação do momento!

A segunda equação poderá ser escrita como:

1 2 M 1 v 1 f 2 + 1 2 M 2 v 2 f 2 - G M 1 M 2 r f = 0 + 0 - G M 1 M 2 r i

Note que os termos 1 2 M 1 v 1 f 2 e 1 2 M 2 v 2 f 2 são as energias cinéticas inicias de 1 e 2, respectivamente. Além disso, - G M 1 M 2 / r 2 é a energia potencial final e - G M 1 M 2 / r 1 é a energia potencial final. Portanto, essa equação representa a conservação da energia!

Passo 2

  1. Assim, podemos pensar no seguinte enunciado:
  2. Dois planetas de massas respectivamente iguais a M 1 = 2,0 × 10 30   k g e M 2 = 4,0 × 10 30   k g estão com os centros separados de r i = 1,0 × 10 12   m , inicialmente em repouso. Devido a atração gravitacional mútua, eles começam a se aproximar. Qual será a velocidade de cada planeta quando a separação entre seus centros for r f = 1,0 × 10 9   m ?

    Passo 3

  3. Temos o seguinte esquema:
  4. Passo 4

  5. Agora, basta resolver as equações:

2,0 × 10 30 v f 1 + 4,0 × 10 30 v f 2 =

1 2 2,0 × 10 30 v 1 f 2 + 1 2 4,0 × 10 30 v 2 f 2 - 6,67 × 10 - 11 2,0 × 10 30 4,0 × 10 30 1,0 × 10 9 = - 6,67 × 10 - 11 2,0 × 10 30 4,0 × 10 30 1,0 × 10 12

Da primeira equação, tiramos que

v f 1 = - 2 v f 2

Substituindo na segunda, temos que

1,0 × 10 30 - 2 v f 2 2 + 2,0 × 10 30 v 2 f 2 = 5,33 × 10 41 6,0 × 10 30 v f 2 2 = 5,33 × 10 41 v f 2 = 298 × 10 3   m / s

Assim, v f 1 = - 596 × 10 3   m / s

Resposta

Temos v f 2 = 298   k m / s e v f 1 = - 596 × 10 3   k m / s .

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Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →