Enunciado

Dois cilindros maciços, feitos dos materiais A e B, têm o mesmo diâmetro; seus comprimentos estão relacionados por L A   =   2 L B . Quando a mesma diferença de temperatura é mantida entre as extremidades dos cilindros, eles conduzem calor com a mesma taxa. As condutividades deles estão, portanto, relacionadas por:

  1. k A   = k B 4 ;
  2. k A   = k B 2 ;
  3. k A   = k B ;
  4. k A   = 2 k B ;
  5. k A   = 4 k B .

Passo 1

Olá! Então, temos dois cilindros maciços feitos de materiais diferentes e o enunciado pede para gente comparar as condutividades térmicas k deles.

Para ajudar, ele fala sobre comprimento L dos cilindros, diferença de temperatura entre suas extremidades Δ T e o diâmetro d deles. E uma última coisa que ele menciona é a taxa de transferência I de calor.

Temos uma expressão para a diferença de temperatura Δ T   em função de quase todas as outras grandezas mencionadas no enunciado. É essa expressão aqui:

Δ T = I Δ x k A

Sendo que Δ x é a distância entre as extremidades do corpo, que a gente pode interpretar como o comprimento L dos cilindros

Δ T = I L k A

E A é a área da seção transversal do cilindro.

A ideia é a gente usar essa fórmulinha e as informações do enunciado para achar uma relação entre k para esses dois cilindros. Vamos!

Passo 2

Vamos escrever a expressão de Δ T para cada cilindro:

Δ T = I L k A

Δ T A = I A L A k A A A

Δ T B = I B L B k B A B

Passo 3

Agora vamos comparar essas duas belezinhas a partir das informações que o enunciado dá. O problema nos disse que mesma diferença de temperatura é mantida entre as extremidades dos cilindros, ou seja,

Δ T A = Δ T B

Substituindo nossas duas expressões:

I A L A k A A A = I B L B k B A B

O enunciado diz também que eles conduzem calor com a mesma taxa, aí escrevemos que

I A = I B

Ele diz também que os cilindros têm o mesmo diâmetro, então eles têm a mesma área de seção transversal:

A A = A B

E o enunciado diz que os comprimentos dos cilindros relacionam pela expressão

L A = 2 L B

Substituindo essas três informações na nossa expressão:

I A L A k A A A = I B L B k B A B

I B 2 L B k A A B = I B L B k B A B

Passo 4

Agora é simplificar para achar a relação entre os nossos k ’s:

I B 2 L B k A A B = I B L B k B A B

2 k A = 1 k B

Sendo assim:

k A = 2 k B

Resposta

L e t r a   D !

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