Enunciado

Um carpinteiro constrói a parede externa de uma casa usando uma camada de madeira com 3,0 cm de espessura e uma camada de isopor com espessura de 2,2 cm na superfície interna da parede. A madeira possui k = 0,080   W / m ⋅ K e o isopor possui k = 0,010   W / m ⋅ K . A temperatura da superfície interna da parede é igual a 19 ° C e a temperatura da superfície externa é - 1 0 ° C . a) Qual é a temperatura na superfície da junção entre a madeira e o isopor? b) Qual é a taxa de transferência de calor por metro quadrado através da parede?

Passo 1

Há uma diferença de temperatura na superfície entre a madeira e o isopor, por isso temos condução de calor através dessa superfície.

Vamos chamar a temperatura na interface entre a madeira e o isopor de T.

A taxa de transferência de calor em cada material é dada por

H = k A T H - T C L .

Taxa de transferência de calor através da madeira: H m = k m A T - T 1 / L m

Taxa de transferência de calor através do isopor: H i = k i A ( T 2 - T ) / L i  

No estado estacionário, o calor não se acumula em nenhum dos materiais. A mesma quantidade de calor deve passar pelos dois materiais, então as taxas de transferência de calor devem ser iguais (esse é o caso de uma associação em série de condutores de calor):

H m = H i

Passo 2

(a) Isso implica que, substituindo as fórmulas:

k m A T - T 1 L m = k i A T 2 - T L i

k m L i T - T 1 = k i L m T 2 - T

k m L i T - k m L i T 1 = k i L m T 2 - k i L m T

T k m L i + k i L m = k m L i T 1 + k i L m T 2

Isolando T :

⇒ T = k m L i T 1 + k i L m T 2 k m L i + k i L m

E substituindo os valores que temos:

T = - 0,0176   W ⋅ ℃ / K + 00057   W ⋅ ℃ / K 0,00206   W / K = - 5,8   ℃

A temperatura na junção é muito mais próxima em valor a T 1 do que a T 2 . O isopor tem

k muito grande, portanto, é necessário um gradiente de temperatura maior para que a madeira estabeleça a mesma corrente de calor.

Passo 3

(b) O fluxo de calor por metro quadrado é

H A = k   T H - T C L .

Podemos calcular isso para a madeira ou isopor; os resultados devem ser os mesmos.

Passo 4

Madeira:

H m A = k m T - T 1 L m = 0,080 W m ⋅ K - 5,8 ℃ - - 10 ℃ 0,030   m = 11   W / m 2 .

Passo 5

Isopor:

H i A = k i T 2 - T L i = 0,010 W m ⋅ K 19 ℃ - - 5,8 ℃ 0,022   m = 11   W / m 2 .

H deve ser o mesmo para ambos os materiais e nossos resultados numéricos mostram isso. Ambos os materiais são bons isoladores e o fluxo de calor é muito pequeno.

Resposta

  1. T = - 5,8   ℃
  2. 11   W / m 2
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