Dois discos metálicos, um com raio R1 = 2,50 cm e massa M1 = 0,80 kg e o outro com raio R2 = 5,0 cm e massa M2 = 1,60 kg , são soldados juntos e montados em um eixo sem atrito passando pelo centro comum (Figura 9.37). a) Qual é o momento de inércia dos dois discos? b) Um fio fino é enrolado na periferia do disco menor, e um bloco de 1,50 kg é suspenso pela extremidade livre do fio. Se o bloco é libertado do repouso a uma distância de 2,0 m acima do solo, qual é sua velocidade no momento em que atinge o solo? c) Repita o cálculo do item (b), desta vez com o fio enrolado na borda do disco maior. Em qual caso a velocidade escalar final do bloco é maior? Explique por quê.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

Para calcular o momento de inércia do conjunto, devemos calcular separadamente cada momento de inércia e somá-los. O momento de inércia de um disco girando a partir do seu eixo de simetria é dado por

I = M R 2

Passo 2

  1. Assim sabemos como calcular o momento de inércia do conjunto temos que:
  2. I = I 1 + I 2

    I = M 1 R 1 2 + M 2 R 2 2

    Veja só!

    Substituindo os valores, temos que

    I = 0,8   k g 0,025   m 2 + 1,6   k g 0,050   m 2

    I = 2.25 × 10 - 3 k g . m 2

    Tranquilo até aqui?

    Passo 3

  3. Para calcular a velocidade com que a Massa presa na extremidade de um dos discos cai, devemos usar o princípio da conservação de energia, onde partindo do repouso, a massa cai enquanto os discos são colocados a girar.
  4. U b i = U b f + K b f + K d

    onde U b e K b são as energias potencial e cinética do bloco, respectivamente. Além disso temos K d como a energia cinética de rotação dos discos que giram com uma velocidade ω

    Podemos então escrever nossas energias da seguinte maneira:

    U b f - U b i = m g d = m v 2 2 + I ω 2 2 = K b f + K d

    Lembrando que O bloco e o disco estão ligados, existe um vínculo ligado a velocidade de ambos. Desta forma, temos que

    ω = v R 1

    Substituindo ω = v R 1 em,

    m g d = m v 2 2 + I v 2 2 R 1 2

    Resolvendo...

    1,5 9,8 2,0 = 1,5 v 2 2 + 2,25 × 10 - 3 v 2 2 0,025 2

    29,4 = 0,75 v 2 + 1,8 v 2

    v 2 = 29,4 2,55 = 11,53

    Logo a velocidade do bloco ao chegar ao solo será de

    v = 3,40 m / s

    Bacana, não é?

    Passo 4

  5. Repetindo o cálculo para o disco maior, nesse caso o raio utilizado em v = ω R , será o raio do disco 2 R 2 , portanto:

m g d = m v 2 2 + I v 2 2 R 1 2

Resolvendo...

1,5 9,8 2,0 = 1,5 v 2 2 + 2,25 × 10 - 3 v 2 2 0,05 2

29,4 = 0,75 v 2 + 0,45 v 2

v 2 = 29,4 1,2 = 24,5

Logo a velocidade do bloco ao chegar ao solo será de

v = 4,95 m / s

A velocidade escalar final do bloco é maior no caso (c), quando o fio está enrolado no disco maior ( R 2 ).

A velocidade final depende da proporção de energia que é convertida em energia cinética de translação do bloco, em oposição à energia cinética de rotação dos discos.

O termo I t o t a l R 2 na equação da velocidade representa o momento de inércia "efetivo" (ou inércia rotacional aparente) do sistema, visto pelo movimento linear do bloco.

Quando o raio, a inércia efetiva é maior. Isso significa que uma porção maior da energia potencial gravitacional é usada para fazer os discos girarem mais rápido, e sobra menos energia para a translação do bloco.

Quando o raio, a inércia efetiva é menor. Isso significa que, para uma dada velocidade linear v , os discos giram com uma velocidade angular menor. Consequentemente, uma porção maior da energia potencial é convertida diretamente em energia cinética de translação do bloco, resultando em uma velocidade final maior.

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. I = 2.25 × 10 - 3 k g . m 2
  2. v = 3,40 m / s
  3. v = 4,95 m / s
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