Dois discos metálicos, um com raio e massa e o outro com raio e massa , são soldados juntos e montados em um eixo sem atrito passando pelo centro comum (Figura 9.37). a) Qual é o momento de inércia dos dois discos? b) Um fio fino é enrolado na periferia do disco menor, e um bloco de é suspenso pela extremidade livre do fio. Se o bloco é libertado do repouso a uma distância de acima do solo, qual é sua velocidade no momento em que atinge o solo? c) Repita o cálculo do item (b), desta vez com o fio enrolado na borda do disco maior. Em qual caso a velocidade escalar final do bloco é maior? Explique por quê.

Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom?
Para calcular o momento de inércia do conjunto, devemos calcular separadamente cada momento de inércia e somá-los. O momento de inércia de um disco girando a partir do seu eixo de simetria é dado por
Passo 2
- Assim sabemos como calcular o momento de inércia do conjunto temos que:
- Para calcular a velocidade com que a Massa presa na extremidade de um dos discos cai, devemos usar o princípio da conservação de energia, onde partindo do repouso, a massa cai enquanto os discos são colocados a girar.
- Repetindo o cálculo para o disco maior, nesse caso o raio utilizado em , será o raio do disco 2 , portanto:
Veja só!
Substituindo os valores, temos que
Tranquilo até aqui?
Passo 3
onde e são as energias potencial e cinética do bloco, respectivamente. Além disso temos como a energia cinética de rotação dos discos que giram com uma velocidade
Podemos então escrever nossas energias da seguinte maneira:
Lembrando que O bloco e o disco estão ligados, existe um vínculo ligado a velocidade de ambos. Desta forma, temos que
Substituindo em,
Resolvendo...
Logo a velocidade do bloco ao chegar ao solo será de
Bacana, não é?
Passo 4
Resolvendo...
Logo a velocidade do bloco ao chegar ao solo será de
A velocidade escalar final do bloco é maior no caso (c), quando o fio está enrolado no disco maior ().
A velocidade final depende da proporção de energia que é convertida em energia cinética de translação do bloco, em oposição à energia cinética de rotação dos discos.
O termo na equação da velocidade representa o momento de inércia "efetivo" (ou inércia rotacional aparente) do sistema, visto pelo movimento linear do bloco.
Quando o raio, a inércia efetiva é maior. Isso significa que uma porção maior da energia potencial gravitacional é usada para fazer os discos girarem mais rápido, e sobra menos energia para a translação do bloco.
Quando o raio, a inércia efetiva é menor. Isso significa que, para uma dada velocidade linear , os discos giram com uma velocidade angular menor. Consequentemente, uma porção maior da energia potencial é convertida diretamente em energia cinética de translação do bloco, resultando em uma velocidade final maior.
E aí! Entendeu tudo? Responde Aí!