Enunciado

Dois eletrodos de área A estão separados um do outro por uma distância d, formando um capacitor de placas paralelas. Os eletrodos estão carregados com ± q .

a. Qual será o aumento infinitesimal dU de energia potencial elétrica se uma quantidade infinitesimal dQ de carga for transferida do eletrodo negativo para o eletrodo positivo?

b. Um capacitor descarregado pode ser carregado com ± Q por meio da transferência repetida de cargas infinitesimais de valor dq. Use sua resposta ao item anterior para mostrar que a energia potencial de um capacitor carregado com ± Q é dada por U c a p = 1 2 Q Δ V C .

Passo 1

Faaaaaala galeera

Vamos lembrar de algumas equações que relacionam estes termos

Δ V C = E d

E = q ε 0 A

Podemos substituir E

Δ V C = q d ε 0 A

Como d U = Δ V d q

A energia potencial sofrerá um aumento de

d U = q d ⋅ d q ε 0 A

Passo 2

Pessoal, para obter uma resposta em U , podemos simplesmente integrar a resposta do Passo 1

∫ d U = ∫ 0 Q q d ⋅ d q ε 0 A

Vamos resolver por partes, primeiro colocando o termo constante para fora da integral

U = d ε 0 A ∫ 0 Q q d q

U = d ε 0 A ∫ 0 Q q 2 2 0 Q

Substituindo

U = d ε 0 A ⋅ Q 2 2

Passo 3

Como

Δ V C = q d ε 0 A

Podemos usar isso para simplificar nosso termo

U = Δ V C ⋅ Q 2

Essa é exatamente nossa resposta

U c a p = 1 2 ⋅ Q Δ V C

Resposta

a.

d U = q d ⋅ d q ε 0 A

b.

Demonstração nos passos 2 e 3

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