Enunciado

Dois fios longos e paralelos de cobre com 2,5   m m de diâmetro, comduzem correntes de 10   A em sentidos opostos. (a) Se os eixos centrais dos fios estão separados por uma distância de 20   m m , determine o fluxo magnético por metro de fio que existe no espaço entre os fios. (b) Quem porcentagem desse fluxo está no interior dos fios? (c) Repita o item (a) supondo que as correntes têm o mesmo sentido.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

O problema diz que dois fios muito longos (vamos aproximar por fios infinitos) conduzem uma corrente i = 10   A em sentidos contrários. Vamos posicionar o fio com corrente para baixo no eixo y e o outro fio (corrente para cima) com seu eixo na reta x = D . O raio dos fios é denotado por R .

Queremos o fluxo por unidade de comprimento na região entre os fios ( 0 < x < D ) .

Para isso, vamos considerar a região retangular (em vermelho) com base D e altura L . O fluxo nessa região:

Φ B = ∫ B → T ⋅ d A → = ∫ 0 D B T x   L   d x = L   ∫ 0 D B T x   d x

B T x representa a soma do campo devido aos dois fios. Como o fio da esquerda tem corrente para baixo e o da direita para cima, os campos gerados entre os fios terão mesmo sentido (para fora da figura, isto é, na direção z positiva). Desta forma, os campos se somam:

B T = B 1 + B 2

Por fim, uma última simplificação que podemos fazer: note que há uma simetria com relação à reta x = D / 2 . O fluxo de x = 0 até x = D / 2 é igual ao fluxo de x = D / 2 até x = D . Isso ocorre porque não importa qual fio escolhemos para colocar na origem do sistema de coordenadas: a simetria está lá! Assim,

Φ B = L   ∫ 0 D B T x   d x = 2 L   ∫ 0 D / 2 B 1 x + B 2 x   d x

Veja só! 👀

Passo 2

Note que entre x = 0 e x = D / 2 , o campo magnético criado pelo fio 1 (fio da esquerda com corrente para baixo) é diferente para x < R (dentro do fio) e para x > R (fora do fio). Dentro do fio, o campo magnético cresce linearmente com x :

B 1 x = μ 0 i 2 π R 2 x             ( x < R )

Já fora do fio, temos à expressão clássica:

B 1 x = μ 0 i 2 π x           R < x < D 2

Essas expressões foram todas deduzidas e trabalhadas no capítulo 29. Já para o fio 2 (da direita com corrente para cima):

B 2 x = μ 0 i 2 π ( D - x )

Assim, o fluxo será

Φ B = 2 L μ 0 i 2 π   ∫ 0 R x R 2 d x + ∫ R D 2 1 x   d x + ∫ 0 D 2 1 D - x   d x

Fazendo as integrações:

ϕ B = L μ 0 i π   1 2 + ln ⁡ D 2 R - ln ⁡ D 2 D

Desta forma, o fluxo por unidade de comprimento entre os fios será:

Φ B L = μ 0 i π   1 2 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ D 2 R = μ 0 i π   1 2 + ln ⁡ D R

Usando μ 0 = 4 π ⋅ 10 - 7   T   m / A , D = 0,020   m , R = 0,00125   m e i = 10   A , obtemos

Φ B L = 1,3 ⋅ 10 - 5   W b / m

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

No item (b) queremos a porcentagem do fluxo calculado no item anterior que está no interior dos fios. Para isso, temos que considerar somente a integral de 0 até R :

Φ i n t = L μ 0 i π   ∫ 0 R x R 2 d x + ∫ 0 R 1 D - x   d x

Assim,

Φ i n t = L μ 0 i π 1 2 - ln ⁡ D - R D

Substituindo os números:

Φ i n t L = 0,23 ⋅ 10 - 5   W b / m

Desta forma, a porcentagem será

0,23 ⋅ 10 - 5 1,3 ⋅ 10 - 5 = 0,17

Portanto, 17 % do fluxo está na região interna aos fios e 83 % na região externa.

Legal, né? 😊

Passo 4

No item (c) pergunta-se o que ocorreria se as correntes estivessem no mesmo sentido: neste caso, os campos estariam em sentidos contrários, de modo que a simetria em torno de x = D / 2 faria com que o fluxo total fosse nulo:

Φ B = 0

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Φ B L = 1,3 ⋅ 10 - 5   W b / m

17 %

O fluxo seria nulo

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