Enunciado

No sistema da Fig. 30-47, a = 12,0   c m e b = 16,0   c m . A corrente no fio retilíneo longo é dada por i = 4,50 t 2 - 10,0 t , onde i está em ampères e t em segundos. (a) Determine a força eletromotriz na espira quadrado no instante t = 3,00   s . (b) Qual o sentido da corrente induzida na espira?

Passo 1

O problema dá um fio que passa por uma espira quadrada de lado b de modo que a corrente faz com que exista um campo magnético perpendicular ao plano da espira. Assim, haverá um fluxo magnético sobre ela. Como a corrente varia no tempo, o fluxo também vai variar, dando origem a uma força eletromotriz induzida: é ela que queremos calcular!

O primeiro passo é calcular o fluxo sobre a espira. Para isso, vamos adotar com convenção a normal saindo do plano da figura. Acima do fio o campo estará saindo da figura (fluxo positivo), enquanto abaixo do fio o campo estará entrando (fluxo negativo).

O campo, a uma distância y do fio será

B = μ 0 i 2 π y

Assim, considerando faixar horizontais bem finas com espessura d y , o fluxo sobre ela será:

d Φ B = B   d A = B   b   d y = μ 0 b i 2 π y   d y

Assim, o fluxo total será:

ϕ B = - μ 0 i b 2 π ∫ b - a a 1 y   d y

Para escrever essa expressão eu considerei que o fluxo negativo abaixo do fio entre y = 0 e y = b - a ia cancelar com o fluxo positivo acima do fio. Desta forma, só precisei considerar o fluxo negativo entre y = b - a e y = a .

Passo 2

Agora vamos integrar para calcular o fluxo:

Φ B = - μ 0 i b 2 π ln ⁡ a b - a

Pela lei de Faraday, a fem induzida é

ε = - d Φ B d t = μ 0 b 2 π ln ⁡ a b - a ⋅ d i d t

Mas como i = 4,50 t 2 - 10,0 t segue que

d i d t = 9,00 t - 10,0

Em t = 3,00   s :

d i d t = 27,0 - 10,0 = 17,0   A

Assim, com a = 0,120   m , b = 0,160   m , temos que

ε = 5,98 ⋅ 10 - 7   V

Passo 3

No item (b) devemos dizer qual o sentido da corrente induzida na espira. Por convenção, adotamos a normal à região limitada pela espira para fora da figura, de modo que o sentido positivo da corrente seria o anti-horário.

Como obtivemos ε > 0 , a corrente é positiva: sentido anti-horário!

Resposta

ε = 5,98 ⋅ 10 - 7   V

Sentido anti-horário

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