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Duas cargas positivas iguais, q , estão no eixo y , uma carga puntiforme está em y = + a e a outra está em y = - a . (a) Mostre que, no eixo x , a componente x do campo elétrico é dada por E x = 2 k q x / x 2 + a 2 3 / 2 . (b) Mostre que, próximo à origem, onde x é muito menor que a , E x = 2 k q x / a 3 . (c) Mostre que, para valores de x muito maiores que a , E x = 2 k q / x 2 . Explique por que poderíamos esperar este resultado mesmo sem calculá-lo tomando o limite apropriado.

Passo 1

  1. Veja o esquema a seguir:
  2. Veja que:

    E 1 = E 2 = k q d 2 = k q a 2 + x 2

    Note que o campo elétrico no eixo y vai ser anulado. O campo resultante no eixo x será:

    E = E 1 cos ⁡ θ + E 2 cos ⁡ θ = 2 k q a 2 + x 2 cos ⁡ θ

    Da figura,

    cos ⁡ θ = x x 2 + a 2  

    Assim,

    E = 2 k q x x 2 + a 2 3 / 2

    Passo 2

  3. Para x ≪ a , podemos desprezar o x 2 em x 2 + a 2 . Assim,
  4. E ≈ 2 k q x a 3

    Passo 3

  5. Para x ≫ a , podemos desprezar o a 2 em x 2 + a 2 . Assim ,

E = 2 k q x x 3 = 2 k q x 2

Deveríamos esperar esse resultado, mesmo sem calcular, pois a grandes distâncias, praticamente se perde qualquer noção de que as cargas estão separadas. Assim, tudo se passa como se tivéssemos uma partícula de carga 2 q .

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