Enunciado

Duas cordas idênticas sob a mesma tensão F possuem uma frequência fundamental igual a f 0 . A seguir, a tensão em uma delas é aumentada em um valor bastante pequeno ∆ F . a) Se elas são tocadas ao memso tempo em sua frequência fundamental, mostre que a frequência do batimento produzida é f b a t = f 0 ( ∆ F / 2 F ) . b) Duas cordas de violino idênticas, quando estão em ressonância e esticadas com a mesma tensão, possuem uma frequência fundamental igual a 440,0   H z . Uma das cordas é afinada novamente, tendo sua tensão aumentada. Quando isso é feito, ouvimos 1,5 batimento por segundo quando as duas cordas são puxadas simultaneamente em seus centros. Em que porcentagem variou a tensão na corda?

Passo 1

A velocidade da onda em uma corda aumenta se aumentarmos a tensão, com isso a frequência muda de uma corda para a outra, e então ocorrem batimentos. Vamos precisar da equação de frequência para uma corda esticada:

f = 1 2 F m L

E da equação de batimento:

f b a t = f - f 0

Passo 2

Como a questão diz que o aumento de tensão é bastante pequeno ∆ F , podemos escrever a tensão da equação assim:

F = F 0 + ∆ F

Sendo F 0 a tensão antes do aumento.

A equação da frequência então fica:

f = 1 2 F 0 + ∆ F m L

E da frequência antes do aumento:

f 0 = 1 2 F 0 m L

Passo 3

Substituindo as duas na equação de batimento:

f b a t = 1 2 F 0 + ∆ F m L - 1 2 F 0 m L

Vamos tirar 1 2 F 0 m L como fator comum:

f b a t = 1 2 F 0 m L 1 + ∆ F F 0 1 2 - 1

Passo 4

Como a questão pede a relação entre a frequência dos batimentos e a frequência inicial f 0 , vamos dividir a equação por f 0 dos dois lados:

f b a t f 0 = 1 2 F 0 m L 1 + ∆ F F 0 1 2 - 1 1 2 F 0 m L

Agora cortamos:

f b a t f 0 = 1 + ∆ F F 0 1 2 - 1

E como ∆ F é muito pequeno, podemos fazer a aproximação:

1 + ∆ F F 0 1 2 = 1 + 1 2 ∆ F F 0

A equação então fica:

f b a t f 0 = 1 + 1 2 ∆ F F 0 - 1 = ∆ F 2 F 0

Podemos passar f 0 para o outro lado só para ficar igual ao enunciado:

f b a t = f 0 ∆ F 2 F 0

Pronto, mostramos o que a questão pediu.

Passo 5

b) Agora é só usarmos a equação da maneira que escrevemos antes:

f b a t f 0 = ∆ F 2 F 0

E substituir os batimentos e a frequência inicial dadas pelo enunciado e passar o 2 para o outro lado:

∆ F F 0 = 2 1,5   H z 440   H z

∆ F F 0 = 0,68 %

Esse vai ser o aumento em porcentagem.

Resposta

b   ∆ F F 0 = 0,68 %

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