Enunciado

Um radar policial estacionário emite microondas a 5,00 GHz. Quando o radar é apontada para um carro, ela sobrepõe as ondas transmitidas e refletidas. Como as frequências dessas duas ondas diferem, as batidas são geradas, com a velocidade do carro proporcional à frequência da batida. A velocidade do carro, 83 mi / h, aparece no visor da pistola de radar. Supondo que o carro esteja se movendo ao longo da linha de visão do policial e usando as equações do efeito Doppler, (a) mostre que, para uma frequência fixa da pistola de radar, a frequência de batida é proporcional à velocidade do carro. DICA: A velocidade do carro é pequena se comparada à velocidade da luz. (b) Qual é a frequência de batida neste caso? (c) Qual é o fator de calibração para esta pistola de radar? Ou seja, qual é a frequência de batimento gerada por mi / h de velocidade?

Passo 1

(a) Bom, para expressarmos a frequência das batidas, vamos ter que considerar a diferença entre as frequências no processo de emissão da onda, quando ela vai do radar até o carro, e a diferença entre as frequências quando a onda é refletida no carro e recebida pelo radar, e então somamos as duas diferenças:

Δ f = Δ f 1 + Δ f 2

Onde:

Δ f 1 = f r - f e

Δ f 2 = f r ' - f r

f e será a frequência emitida pelo radar, f r será a frequência quando a onda atinge o carro e

f r ' será a frequência recebida após a onda ser refletida no carro.

Passo 2

Como o radar emite micro-ondas, as velocidades das ondas serão muito maiores do que a velocidade do carro, então as seguintes equações são válidas:

Δ f 1 = - u c f e

Δ f 2 = - u c f r

E então ficaremos com:

Δ f = - u c f e - u c f r = - u c f e + f r

Passo 3

E para escrevermos Δ f somente em função de f e , vamos usar as duas equações de Δ f 1 que expressamos antes:

Δ f 1 = - u c f e

Passando f e pro outro lado:

Δ f 1 f e = - u c

E

Δ f 1 = f r - f e

Ficamos com:

f r - f e f e = - u c

Isolando f r :

f r = f e - u c f e = f e 1 - u c

Passo 4

Substituindo f r na equação de Δ f :

Δ f = - u c f e + f e 1 - u c

Δ f = - 2 f e u c - f e u c 2

Como o enunciado nos diz que a velocidade do carro é bem menor que c, o termo ao quadrado é aproximadamente 0, então:

Δ f ≈ - 2 f e u c

E então a frequência das batidas é proporcional á velocidade do carro.

Passo 5

Na (b) vamos usar o modulo da equação encontrada anteriormente para encontrarmos a frequência das batidas:

Δ f ≈ 2 f e u c

Substituindo valores numéricos:

Δ f ≈ 2 ( 5.00 × 10 9 H z ) 83 m i / h 2.998 × 10 8 m / s

Δ f ≈ 1.2 k H z

Passo 6

E na letra (c) é pedido a frequência para cada valor de velocidade, então basta fazermos a razão entre o valor da frequência da batida e a velocidade do carro:

F c = 1.2 k H z 83 m i / h = 15 H z m i / h

Resposta

( b ) Δ f ≈ 1.2 k H z

( c ) F c = 15 H z m i / h

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