Enunciado

Duas esferas de 20   k g são mantidas fixas em um eixo y , uma em y = 0,40   m e a outra em y =   - 0,40   m . Uma bola de 10   k g é liberada a partir do repouso em um ponto do eixo x que está a uma grande distância (praticamente infinita) das esferas. Se as únicas forças que agem sobre a bola são as forças gravitacionais exercidas pelas esferas, então, quando a bola chega ao ponto 0,30   m ,   0 , quais são (a) a energia cinética da bola e (b) a força resultante exercida pelas esferas sobre a bola, em termos dos vetores unitários?

Passo 1

Vamos começar desenhando a situação em um plano cartesiano:

A letra (a) quer saber qual vai ser a energia cinética da bola quando ela chegar no ponto de coordenadas 0,3   ,   0 m .

Para descobrir isso, vamos usar a lei de conservação de energia.

Passo 2

Inicialmente, a bola de massa 10   k g estava em repouso (portanto K 0 = 0 ), e a uma distância “praticamente infinita” (portanto U ≅ 0 ). Portanto a energia mecânica inicial E 0 é:

E 0 = K 0 + U 0 = 0

Quando estiver no ponto de coordenadas 0,3   ,   0 m , a energia mecânica vai ser:

E f = K 1 + U A + U B

Então falta achar as energias potenciais gravitacionais entre a bola de massa 10   k g e cada uma das outras duas.

Pela figura podemos ver que a distância entre os pares é a mesma. Vamos calculá-la usando o teorema de Pitágoras:

d = 0,4 2 + 0,3 2 = 0,25 = 0,5   m

E substituindo na fórmula da energia potencial gravitacional:

U A + U B = - 2 G M m d = - 2 6,67.10 - 11 20 10 0,5 = - 5,3.10 - 8   J

Passo 3

Agora voltando à lei de conservação de energia:

E 0 = E f

0 = K 1 + U A + U B

O substituindo o valor que acabamos de encontrar:

K 1 = 5,3.10 - 8   J

Pronto, essa é a resposta da letra (a).

Passo 4

Para calcular a força resultante naquele ponto, temos primeiro que calcular o módulo das forças entre a bola de 10   k g e cada uma das outras duas.

Perceba que as duas forças são iguais em módulos, pois as massas e as distâncias são iguais:

F = G M m r 2 = 6,67.10 - 11 20 10 0,5 2 = 5,37.10 - 8   N

Esse é o comprimento do vetor desenhado abaixo, assim como do outro (seu reflexo no eixo x ) que representa a força com a bala mais abaixo:

Passo 5

Perceba que as duas forças se cancelam no eixo y , e se somam no eixo x . Por isso a força resultante terá apenas um componente no eixo x , apontando para a origem.

Vamos calcular esse componente:

F x = F . cos ⁡ θ = F . 0,3 0,5 = 5,37.10 - 8 0,6 = 3,22.10 - 8   N

Como as forças se somam, o módulo da resultante será:

F → = 2 F x = 6,4.10 - 8   N

Que como vimos, aponta no sentido negativo do eixo x :

F → = - 6,4.10 - 8 N i ^

Resposta

(a) K = 5,3.10 - 8   J

(b) F → = - 6,4.10 - 8 N i ^  

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