Enunciado

Procurando um buraco negro. As observações da luz de uma estrela indicam que a estrela faz parte de um sistema binário (sistema de duas estrelas). A estrela visível do par tem uma velocidade orbital v = 270   k m / s , um período orbital T = 1,70 dia e uma massa aproximada m 1 = 6 M s , onde M s é a massa do sol 1,99   .   10 30   k g . Suponha que as órbitas da estrela e da companheira, que é escura e invisível, são circulares. Qual é a massa m 2 da estrela escura, em unidades de M s .

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo beleza?

No ponto O da figura, temos o centro de massa do sistema binário. Perceba que as duas estrelas estão orbitando esse ponto O em uma trajetória circular. Vamos pensar na estrela mais externa primeiro.

Se ela é mantida em órbita circular, é porque existe uma força centrípeta que mantém ela nessa trajetória. Nesse caso, é a força gravitacional exercida pela estrela mais interna:

F g = G m 1 m 2 r 2 = m 1 v 2 r 1

Na fórmula da força, o r é a distância entre uma estrela e outra, há na força centrípeta, r 1 é o raio da órbita da estrela mais externa.

Agora precisamos encontrar uma relação entre r e r 1 .

Passo 2

Pela fórmula do centro de massa sabemos que:

m 1 r 1 = m 2 r 2 ⇒ r 2 = m 1 r 1 m 2

Olhando para a figura, temos que:

r = r 1 + r 2

Substituindo o resultado anterior aqui:

r = r 1 + m 1 r 1 m 2 = m 2 r 1 + m 1 r 1 m 2

Ou seja:

r = m 1 + m 2 m 2 r 1

Passo 3

Agora podemos usar o período T e a velocidade v da estrela mais externa para substituir r 1 e, consequentemente, r . Em um órbita circular:

v = 2 π r 1 T ⇒   r 1 = v T 2 π

Substituindo isso na equação anterior:

r = m 1 + m 2 m 2 . v T 2 π

Agora nossa equação inicial:

G m 1 m 2 r 2 = m 1 v 2 r 1

Vira:

G m 1 m 2 m 1 + m 2 m 2 . v T 2 π 2 = m 1 v 2 v T 2 π

Passo 4

Agora precisamos arrumar essa confusão!

G m 1 m 2 m 1 + m 2 m 2 . v T 2 π 2 = m 1 v 2 v T 2 π

Resolvendo as potências e organizando as frações:

G .   m 1 . m 2 3   .   4   .   π 2   m 1 + m 2 2 .   v 2 . T 2 = 2 π m 1 v T

Agora vamos cortar o que for possível:

G .   m 2 3   .   2   .   π   m 1 + m 2 2 .   T = v 3 1

Agora vamos tentar isolar as massas, que é o que nos interessa:

m 2 3 m 1 + m 2 2 = v 3 .   T 2   .   π   . G

Beleza, temos todos os valores do lado direto, é só convertermos o período para segundos e podemos começar a substituir:

m 2 3 m 1 + m 2 2 = ( 2,7   .   10 5 ) 3 .   ( 146880 ) 2   .   ( 3,14 )   . ( 6,67   .   10 - 11 ) = 6,90   .   10 30   k g

Agora vamos ao passo final:

Passo 5

O enunciado pede a resposta em termos de massas solares M S = 1,99   .   10 30 k g , e já sabemos que:

m 1 = 6 M s

Substituindo:

m 2 3 6 M s + m 2 2 = 6,90   .   10 30   k g

Dá pra facilitar bastante se escrevermos m 2 = α M S , ou seja, escrevermos m 2 como algum múltiplo de M s . Aí fica:

α 3 M S 3 6 M s + α M S 2 = 6,90   .   10 30

α 3 M S 3 6 + α 2 M S 2 = 6,90   .   10 30

α 3 6 + α 2 = 6,90   .   10 30 M S = 3,46

Aí caímos em uma equação do terceiro grau:

α 3 - 3,46 6 + α 2 = 0

Usando algum método numérico ou um computador, podemos encontrar a solução real:

α ≅ 9,3

Resposta

m 2 ≅ 9,3   M s

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