Enunciado

Duas esferas condutoras isoladas de raios iguais R têm cargas + Q e - Q , respectivamente. Os centros das esferas estão separados por uma distância d , que é grande comparada ao raio delas. Estime o valor da capacitância deste capacitor não usual.

Passo 1

Cara... Antes de iniciarmos a nossa matemática, que tal desenharmos o que está acontecendo no problema?

Bem, temos duas esferas de cargas de raio R pequeno comparado com a distância entre alas...

E aí o problema pede para determinarmos a capacitância C desse capacitor não usual.

Ora... Você deve estar se perguntando: Isso é um capacitor?

A resposta é sim! Afinal, para termos um capacitor, bastam termos duas cargas opostas separadas por certa distância.

Se for um capacitor, tem capacitância C que pode ser dada pela relação...

Q = C V

Onde V é a diferença de potencial entre elas. Veja que então se encontrarmos esse potencial, o problema vai estar resolvido, afinal queremos a capacitância C e daí, com V em mãos, bastará...

C = Q V

Partiu vermos melhor quem é o V ?

Passo 2

Como acabamos de conversar, V é a diferença de potencial entre as duas esferas de cargas...

De acordo com a nossa teoria, o potencial eletrostático V de uma esfera de cargas pode ser dado por...

V = 1 4 π ε 0 ⋅ Q r

Onde r é a distância do centro da esfera ao ponto onde se quer medir o potencial da esfera...

POW! Como queremos medir o potencia até a posição do centro da outra esfera de carga...

Podemos considerar o potencial entre as duas esferas então como...

V = 1 4 π ε 0 ⋅ Q r →

V = 1 4 π ε 0 ⋅ Q d + 2 R

Afinal... r = d + 2 R , saca?

Todavia, contudo, não obstante... d ≫ R , então podemos considerar d + 2 R ≅ d ... Então...

V = 1 4 π ε 0 ⋅ Q d

Passo 3

“Tá! Mas não queremos o potencial entre as esferas e sim a capacitância entre elas”.

Correto! Mas do passo 1 ...

C = Q V   →

C = Q 1 4 π ε 0 ⋅ Q d   →

C = 4 π ε 0 d

Resposta

C = 4 π ε 0 d

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