Enunciado

Duas esferas maciças e polidas (sem atrito), de raio r, são colocadas dentro de um cilindro de raio R, como na Figura 12-63. A massa de cada esfera é m. Determine a força exercida pela base do cilindro sobre a esfera de baixo, a força exercida pela parede do cilindro sobre cada esfera e a força exercida por uma esfera sobre a outra. Expresse todas as forças em termos de m, R e r.

Passo 1

Bom, vamos com muita calma ! Primeiro desenhamos o sistema e acrescentamos as forças. Supondo que a direção y seja positiva para cima e x positivo para a direita:

A gente percebe que quando uma bola esta em contato com a outra a de cima irá exercer uma força sobre a de baixo ( F → ), formando com a força peso da superior um ângulo ( θ ). A parede exerce força sobre a bola superior ( F → w ) e na inferior ( F → ' w ). Para finalizar existe um contato entre a bola inferior e a base do cilindro ( F → N ).

E o que queremos neste problema? Todas elas !

Vamos começar lembrando que todo o sistema se encontra em equilíbrio, neste caso as condições são válidas. Vamos começar usando ∑ F → = 0 .

Se ∑ F → = 0 , então ∑ F x → = 0   e   ∑ F y → = 0 .

Na direção x, nós temos as forças peso e a normal da base sobre a bola. A força F não será considerada na equação porque ela é a composição da força peso da primeira bolinha. Jogando na fórmula:

∑ F y → = F → N - m g - m g = 0

F → N = 2 m g

Legal, já achamos uma das forças !

Passo 2

Acabei de dizer no passo 1 que a força F → é a composição da força peso, que formam um ângulo θ com a mesma.

Por trigonometria:

m g F → = cos ⁡   θ

Isolando:

F → = m g cos ⁡   θ

O problema nos pediu para relacionar as forças com m, R e r, não em relação ao ângulo. Então vamos achar o ângulo em função disso.

Podemos observar que o ângulo faz parte de um triângulo retângulo:

Queremos achar cosseno, mas não temos o cateto adjacente, então vamos usar:

r ² = R - r 2 + C A ²

C A = R ( 2 r - R )

Então:

cos ⁡ θ = R 2 r - R r

Também podemos achar o seno:

s e n   θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = R - r r

Só precisamos substituir isso na força:

F → = r m g R 2 r - R

Passo 3

O último passo é achar a força com que a parede do cilindro exerce sobre a bola. Para fazer isso podemos usar ∑ F x → = 0 .

Na direção x temos as forças da parede sobre as bolas, em direções opostas, como as características destes dois sistemas são iguais podemos assumir que:

F w → = F ' w →

A outra força que atua nesta direção é a força peso na direção x:

F p . x F → = s e n θ  

F p . x = F . s e n θ

Substituindo F, obtido do passo 2, e o seno:

F p . x = F . s e n θ

F p . x = m g r R 2 r - R . R - r r = m g R - r R 2 r - R

Jogando em ∑ F x → = 0 :

F w → - m g R - r R 2 r - R = 0

F w → = m g R - r R 2 r - R

Pronto, achamos todas as forças que queríamos!

Resposta

F → N = 2 m g

F → = r m g R 2 r - R

F w → = m g R - r R 2 r - R

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