Enunciado

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desse livro

Duas grandes engrenagens estão sendo projetadas como parte de uma grande máquina, como mostrado na figura; cada uma é livre para girar em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro. O raio e o momento de inércia da engrenagem menor são 0,50 m e 1,0 k g ⋅ m 2 , respectivamente, e o raio e o momento de inércia da engrenagem maior são 1,0 m e 16 k g ⋅ m 2 , respectivamente. A alavanca presa à engrenagem menor tem 1,0 m de comprimento e massa desprezível. (a) Se um trabalhador aplica, tiplicamente, uma força de 2 N na extremidade da alavanca, como mostrado, quais serão as acelerações angulares das duas engrenagens? (b) Outra parte da máquina (não mostrada) aplica uma força tangencialmente à borda externa da engrenagem maior, para impedir, temporariamente, o sistema de engrenagens de girar. Qual deve ser a magnitude e o sentido (horário ou anti-horário) desta força?

Passo 1

a) Queridooo, cê tá bem? Vamos refletir aqui nessa questão.

Ele quer saber a aceleração angular de cada uma das engrenagens. Ele diz para gente que um trabalhador aplica uma força de F o p = 2 N na borda da engrenagem menor.

Cara, se fala de aceleração angular α e força aplicada, cê pode pensar logo em segunda lei de Newton para rotação. Por que? Porque ela tem essa cara:

∑ τ = I α

Onde ∑ τ , que é o torque resultante, vai depender das força aplicadas no nosso sistema.

E se tem segunda lei de Newton precisa ter o melhor amigo dela: o diagrama de corpo livre. Para cada engrenagem, vamos ter:

O que está acontecendo ali?

Bem, a força que o trabalhador aplica gera um torque na engrenagem da esquerda, aí a engrenagem roda e entra contato com a engrenagem da direita. A força que ela aplica nessa engrenagem fica no sentido que o torque tem no ponto de contato, ou seja, para baixo.

E a engrenagem da direita gera uma força de reação na outra engrenagem de mesmo módulo, mas sentido inverso.

A gente não colocou a força peso de cada engrenagem porque a força peso tem linha de ação passando pelo CM das engrenagens, então ela não gera torque. Como a gente só vai usar a segunda lei de Newton para rotação, só importa as forças que geram torque, aí F g não aparece ali, tá?

Bora!

Passo 2

Passo 3

Vamos usar a segunda lei de Newton para a a engrenagem da esquerda:

∑ τ = I α

Vamos chamar a aceleração angular dela de α 1 e I 1 o momento de inércia dela. O torque resultante vai ser a diferença entre o torque gerado pela força F o p , que vale τ o p = F o p l , já que l é a distância da força e o eixo de rotação. E o torque gerado por F , que vale τ F = F R 1 .

A gente vai deixar o torque de F negativo porque ele está oposto a aceleração da engrenagem que está no sentido do torque de F o p . Então a lei fica:

τ o p - τ F = I 1 α 1

F o p l - F R 1 = I 1 α 1

Substituindo nossos dados:

2 × 1 - F × 0.5 = 1.0 × α 1

α 1 + F 2 = 2

2 α 1 + F = 4

F = 4 - 2 α 1   ( 1 )

Passo 4

Aí agora vamos aplicar para a engrenagem da direita:

∑ τ = I α

O único torque sobre ela é gerado pela força F , e ele vale τ = F R 2 . Já que F e R 2 são perpendiculares, e R 2 é a distância entre o ponto de aplicação de F   o eixo de rotação. Então temos:

F R 2 = I 2 α 2

Substituindo os dados:

F × 1 = 16 α 2

F = 16 α 2   ( 2 )

Passo 5

Como as engrenagens andam juntas sem escorregar, as acelerações tangenciais (a aceleração de um ponto qualquer na borda da engrenagem) têm que ser iguais!

a 1 = a 2

Só que podemos escrever a aceleração tangencial a , pela expressão a = α R . Aí fazendo isso para cada engrenagem e substituindo na relação acima:

α 1 R 1 = α 2 R 2

α 1 2 = α 2

α 1 = 2 α 2   ( 3 )

Passo 6

Temos 3 equações:

F = 4 - 2 α 1   ( 1 )

F = 16 α 2   ( 2 )

α 1 = 2 α 2   ( 3 )

Igualando as duas expressões de F :

4 - 2 α 1 = 16 α 2

Substituindo a equação 3 aqui:

4 - 4 α 2 = 16 α 2

Isolando quem a gente quer:

α 2 = 0.2   r a d / s 2

E pela equação (3), podemos achar:

α 1 = 2 α 2

α 1 = 0.4   r a d / s 2

Passo 7

b) Para contrabalancear o torque feito pelo operário, vamos ter que achar um torque igual a ele, mas no sentido oposto! Olha lá pros dentinhos da engrenagem: a menor faz a maior girar no sentido anti horário. Então o torque que tem que aparecer vai ser no sentido horário!

O torque gerado pelo operário é τ o p = F o p l . E o torque gerado por uma força T aplicada tangencialmente na engrangem maior vai ser τ T = T R 2 . A gente quer que o módulo desses dois sejam iguais:

F o p l = T R 2

Substituindo os dados

2 × 1 = T × 1.0

T = 2.0 N

E ele está sentido horário!

Obs: O gabarito do livro nessa diz 4.0 N , mas essa seria a resposta aplicando a força na engrenagem menor, já que ficaria: 2 × 1 = T R 1 = 0.5 T → T = 4.0 N . Como o enunciado fala que vai aplicar na engrenagem maior, devemos colocar R 2 na conta. Então estamos certinhos, tá?

Resposta

  1. α 1 = 0.4   r a d / s 2 , α 2 = 0.2   r a d / s 2 .
  2. 2.0 N , no sentido horário.

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