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Duas ondas sonoras com uma amplitude de 12 n m e um comprimento de onda de 35 c m se propagam no mesmo sentido em um longo tubo, com uma diferença de fase de π / 3 r a d . Qual é ( a ) a amplitude e b o comprimento de onda da onda sonora que resulta da interferência das duas ondas? Se, em vez disso, as ondas sonoras se propagam em sentidos opostos no tubo, qual é ( c ) a amplitude e d o comprimento de onda da onda resultante?

Passo 1

Vamos equacionar as ondas:

s x , t 1 = s m s e n ( k x - ω t )

s x , t 2 = s m s e n ( k x - ω t + ϕ )

A onda resultante vai ser a soma algébrica das duas funções. Utilizando as relações da soma de dois senos com ângulos diferentes α e β :

s e n α + s e n β = 2 . s e n 1 2 α + β cos ⁡ 1 2 ( α - β )

Aplicando essa propriedade nas ondas teremos a seguinte relação para α = ( k x - ω t +   ϕ )   e     β = ( k x - ω t ) :

s m x , t m = 2 . s e n k x 2 - ω t 2 + ϕ 2 + k x 2 - ω t 2 cos ⁡ k x 2 - ω t 2 + ϕ 2 - k x 2 + ω t 2

O que resulta em:

s t x , t m = 2 s m cos ⁡ 1 2 ϕ s e n k x - ω t + 1 2 ϕ

As duas ondas interferem formando uma onda apenas, de comportamento também senoidal (parte do seno) e de mesma direção de propagação das outras duas ondas e uma amplitude oscilatória (parte do cosseno).

Passo 2

Agora podemos determinar a amplitude dessa onda resultante. O termo entre colchetes é justamente a amplitude A e como temos o ângulo de fase ϕ / 3 e a amplitude individual s m , podemos substituir:

A = 2.12.10 - 9 . cos ⁡ 1 2 . π 3 = 20,78 n m

Passo 3

Para determinar o comprimento de onda resultante, vale lembrar que v = λ f e como as duas ondas se somam formando uma terceira de mesma velocidade e mesma frequência, a onda resultante também terá o mesmo comprimento de onda.

Assim λ m = 35 c m .

Passo 4

Para ondas viajando em sentidos opostos, a resultante vai ser novamente a soma das duas ondas:

s e n α + s e n β = 2 . s e n 1 2 α - β cos ⁡ 1 2 ( α + β )

Porém os ângulos α e β diferentes:

α = k x - ω t + ϕ e β = k x + ω t

s t x , t m = 2 s m s e n k x + ϕ 2 cos ⁡ ϕ 2 - ω t

Agora a amplitude é a parte apenas da frente da expressão. Essa é a diferença quando falamos em ondas de mesmo sentido, ou sentidos opostos na interferência.

Passo 5

Assim a amplitude A para ϕ = π / 3 (nessa caso o ângulo de fase não interfere na amplitude) fica:

A = 2.12.10 - 9 = 24 n m

Passo 6

E o comprimento de onda? Bom, continuamos ter um comportamento oscilatório de mesma velocidade angular e número de onda. Dessa forma o comprimento de onda novamente não sofre alterações e tem o valor de λ m = 35 c m .

Resposta

a 21 n m

b 35 c m

c 24 n m

d 35 c m

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