Enunciado

O trato vocal. Muitos cantores de ópera (e alguns cantores populares) possuem uma faixa de cerca de 2 1/2 oitavas ou ainda maior. Suponha que a faixa de uma soprano se estenda desde A abaixo do C médio (frequência de 220 Hz) até o E bemol acima do C alto (frequência de 1.244 Hz). Embora o trato vocal seja bastante complicado, podemos modelá-lo como uma coluna de ar ressonante, semelhante a um tubo de órgão, aberta no alto e fechada na parte inferior. A coluna se estende da boca até o diafragma, na cavidade peitoral, e também podemos considerar que a nota musical mais baixa seja a fundamental. Qual é a extensão dessa coluna de ar se u=354 m/s? Seu resultado parece ser razoável, com base nas observações do seu próprio corpo?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Nesse exercício vamos estudar ressonância sonora em tubos fechados. Modelando o trato vocal como um tubo fechado em uma das extremidades e sabendo duas frequências de ressonância relativas a esse tubo, vamos determinar a extensão desse trato vocal.

Sabemos que duas frequências de ressonância desse tubo são f = 220   H z e T . Lembre-se que a frequência de ressonância de um modo n (impar) qualquer é dada por:

f n = n v 4 L

Passo 2

Podemos escrever então:

m f n = n f n

f n = m v 4 L

Queremos determinar f 1 , mas não sabemos os valores de m e n , mas sabemos que as duas frequências são múltiplas ao mesmo tempo da frequência fundamental, dessa forma podemos determinar a frequência fundamental pelos divisores comuns das duas frequências.

Passo 3

Vamos começar por calcular o máximo divisor comum entre elas, mas vale lembrar que n e m obtidos devem ser ambos impares:

f k = m d c f n ,   f m

f k = m d c 220,1244 = 4

Como 220 e 1244 são múltiplos impares do mínimo múltiplo comum 4, temos que f 1 = f k = 1 . Com essa informação, podemos determinar o tamanho do tubo a partir da fórmula da frequência fundamental:

f 1 = v 4 L

4 = 354 4 L

L = 22 , 125   m

Resposta

Concluímos, portanto, que um tubo fechado com tais frequências de ressonância deveria ter L = 22,125   m , o que não é possível para o corpo humano, isto é, fica evidente que esse modelo não é uma boa aproximação para o trato vocal.

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