Enunciado

Um tubo de um órgão possui dois harmônicos sucessivos com frequências iguais a 1.372 Hz e 1.764 Hz. (a) Esse tubo é aberto ou fechado? Explique. (b) Que harmônicos são esses? (c) Qual é o comprimento do tubo?

Passo 1

Fala galera, bora lá!

(a) Sabendo das relações de um tubo aberto:

f n = n f 1

f n + 1 = n + 1 f 1

Ao subtrair o valor do harmônico n + 1 com o n-ésimo, obtemos:

f n + 1 - f n = f 1

Então, considerando que os harmônicos são 1764 Hz e 1372 Hz, a frequência fundamental seria equivalente à 392 Hz.

Passo 2

Com estes dados, podemos então determinar o número do harmônico de qualquer uma das frequências, escolhendo a de menor valor, obtemos:

n = f n f 1 = 3,5

Como n precisa ser um número inteiro, isso não é possível.

Concluindo, como não é possível que o harmônico seja de um tubo aberto, ele será um harmônico de um tubo fechado.

Passo 3

(b) Em um tubo fechado temos apenas harmônicos impares, então é possível utilizar a relação:

f n = n f 1

f n + 2 = n + 2 f 1

Ao subtrair o valor do harmônico n + 2 com o n-ésimo, obtemos:

f n + 2 = n + 2 f 1

Então, considerando que os harmônicos são 1764 Hz e 1372 Hz, a frequência fundamental seria equivalente à 196 Hz.

Passo 4

Com isso, podemos encontrar o número de cada harmônico, com a relação:

n = f n f 1

Para o harmônico de menor valor, ao substituir as quantidades já fornecidas, temos que n = 7 . Então o harmônico da outra frequência será n + 2 = 9 .

Concluindo os harmônicos de ambas as frequências são

n = 7     e     n + 2 = 9

Passo 5

(c) Da parte (a)

f 1 = 196   H z

Para um tubo fechado

f 1 = v 4 L

E

L = v 4 f 1 = 344 4 196

Assim, o comprimento do tubo é

L = 0,439   m

Resposta

  1. Tubo fechado.
  2. n = 7     e     n + 2 = 9
  3. L = 0,439   m

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