Enunciado

Duas partículas de massas m 1 e m 2 são soltas em repouso, separadas de uma distancia inicial r 0 , movendo-se apenas sob o efeito de sua atração gravitacional mútua. Calcule as velocidades das duas partículas quando se aproximam até uma distância r < r 0 uma da outra.

Passo 1

Nessa aí a gente vai ter que fazer uma conservaçãozinha de energia clássica. Dá uma olhada na situação aí embaixo.

Primeiro as partículas estão separadas de uma distância r 0 . Conforme elas vão se atraindo, vão adquirindo velocidade até chegar na menor distância possível r .

Passo 2

Então vamos conservar energia entre uma situação e outra.

- G m 1 m 2 r 0 = - G m 1 m 2 r + m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2

Outra coisa que a gente pode fazer é conservar a quantidade de movimento pras duas situações. Primeiro, as esferas estavam paradas , e depois, cada uma delas vai ter a velocidade indicada na figura.

m 1 v 1 + m 2 v 2 = 0

v 2 = - m 1 v 1 m 2

Então vamos substituir lá em cima!

- G m 1 m 2 r 0 + G m 1 m 2 r = m 1 v 1 2 2 + m 2 - m 1 v 1 m 2 2   2

G m 1 m 2 1 r - 1 r 0 = v 1 2 2 m 1 + m 1 2 m 2

Vamos dividir tudo por m 1 .

v 1 2 2 1 + m 1 m 2 = G m 2 1 r - 1 r 0

Fazendo o m.m.c. e dando uma arrumada, vamos obter:

v 1 2 = 2 G m 2 2 1 r - 1 r 0 m 1 + m 2

v 1 = m 2 2 G m 1 + m 2 1 r - 1 r 0

Passo 3

Agora que achamos v 1 , é só jogar na equação da quantidade de movimento que temos ali em cima!

v 2 = - m 1 m 2 v 1

v 2 = - m 1 2 G m 1 + m 2 1 r - 1 r 0

Resposta

v 1 = m 2 2 G m 1 + m 2 1 r - 1 r 0

v 2 = - m 1 2 G m 1 + m 2 1 r - 1 r 0

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