Enunciado

Uma partícula de massa m move=se num campo de forças centrais repulsivo; a força sobre a partícula à distância r do centro tem magnitude F r = m A 2 / r 3 onde A é uma constante. A partícula aproxima-se do centro vindo de uma grande distância, com parâmetro de choque b e velocidade de magnitude v 0 .   (a) Escreva o potencial efetivo V e f em função de b e v 0 . (b) Calcule a distância r 0 de maior aproximação entre a partícula e o centro e forças como função de b   e v 0 .

Passo 1

Esse tal potencial efetivo a gente viu o que é lá no problema 6. A expressão dele é:

V e f = U r + L 2 2 m r 2

O momento angular a gente já tem, porque temos o parâmetro de choque, a velocidade e a massa!

L = m b v 0

Então, substituindo:

V e f = U + m v 0 2 b 2 2 r 2

Esse potencial U depende da força F :

V e f = - ∫ F d r + m v 0 2 b 2 2 r 2

V e f = - ∫ m A 2 d r r 3 + m v 0 2 b 2 2 r 2

Integrando, vamos chegar em:

V e f = m A 2 2 r 2 + m v 0 2 b 2 2 r 2

Colocando em evidência o que tem pra colocar:

V e f = m v 0 2 2 r 2 b 2 + A 2 v 0 2

Passo 2

Pra achar a menor distância, vamos fazer que nem na questão 9: conservando a energia e o momento angular. Isso porque a gente sabe que a velocidade inicial vai ser alterada por causa da ação da força, que realiza trabalho.

m v 0 2 2 + ∫ F d r = m v 2 2

Da conservação de momento angular:

m b v 0 = m r v

v = b v 0 r

Então...

m v 0 2 2 + ∫ m A 2 d r r 3 = m 2 b v 0 r 2

Resolvendo a integral:

m v 0 2 2 - m A 2 2 r 2 = m 2 b v 0 r 2

v 0 2 - A 2 r 2 = v 0 2 b 2 r 2

v 0 2 = v 0 2 b 2 r 2 + A 2 r 2

Botando r 2 em evidência:

1 r 2 v 0 2 b 2 + A 2 = v 0 2

Por fim, é só arrumar a casa.

r 2 = b 2 + A 2 v 0 2

r = b 2 + A 2 v 0 2

Resposta

  1. V e f = m v 0 2 2 r 2 b 2 + A 2 v 0 2
  2. r = b 2 + A 2 v 0 2
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