Enunciado

Duas pequenas esferas metálicas A e B , de massas m A = 5,00   g e m B = 10,0   g , possuem a mesma carga positiva q = 5,00   μ C .   As esferas estão ligadas por um fio não condutor de massa insignificante   e comprimento d = 1,00   m que é muito maior que os raios   das esferas. (a) Qual é a energia potencial elétrica do sistema? (b)   Suponha que o fio seja cortado. Qual é a aceleração de cada esfera   nesse instante? (c) Qual é a velocidade de cada esfera muito tempo   depois de o fio ter sido cortado?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos duas esferas carregadas de massas m A = 5,00   g e m B = 10,0   g e possuem a mesma carga q = 5,00   μ C .   As esferas estão ligadas por um fio não condutor de massa insignificante   e comprimento d = 1,00   m .

A partir daí queremos saber qual é a energia potencial do sistema, a aceleração de cada esfera caso o fio seja cortado e a velocidade das esferas depois de muito tempo...

Parece complicado? 🤔

A energia potencial do sistema é dada por

U = K q 1 q 2 d

E podemos relacionar a força elétrica entre as esferas e a 2° Lei de Newton...

F e = K q 1 q 2 d 2

F = m a

Saca só! 😉

Passo 2

Para o item (a) vamos considerar zero a energia potencial do sistema quando a distância entre as esferas é infinita, então, a energia potencial elétrica desse sistema é:

U = K q q d = K q 2 d

Substituindo os valores...

U = 8,99 × 10 9 N . m 2 C 2 5,0 × 10 - 6   C 2 1,00   m

U = 0,225   J

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Para o item (b) como as cargas das duas esferas é igual, elas se repelem de acordo com a força eletrostática entre elas, o módulo dessa força é:

F = K q 2 d 2

Substituindo os valores.

F = 8,99 × 10 9 N . m 2 C 2 5,0 × 10 - 6   C 2 1,00   m 2

F = 0,225   N

Através da 2° lei de Newton ( F = m a ) , podemos encontrar a aceleração de cada esfera:

a A = F m A = 45,0   m / s 2

E a aceleração da esfera B:

a B = F m B = 22,5   m / s 2

Legal, né? 😎

Passo 4

E para o item (c) a energia potencial inicial foi calculada no item (a) e é U i = 0,225   J . A energia cinética inicial k i é zero, pois as duas esferas estão inicialmente em repouso.

A energia potencial final U f é praticamente nula, pois as esferas irão se repelir at�� a força eletrostática ser muito pequena. A energia cinética final k f será

k f = m A v A 2 2 + m B v B 2 2

Em que v A e v B são as velocidades finais das esferas A e B, nessa ordem. Assim, de acordo com a conservação da energia mecância:

U i + U f =   k i + k f

U i =   m A v A 2 2 + m B v B 2 2  

Além disso, podemos usar também, a lei de conservação dos momentos, que diz:

m A v A i n i c i a l + m B v B i n i c i a l =   m A v A f i n a l + m B v B f i n a l

Como as velocidades iniciais das duas esferas é nula, então:

0 =   m A v A + m B v B ⇒ v B =   - m A v A m B

Trabalhoso, não é? 👀

Passo 5

Substituindo v B na equação da energia, obtemos:

U i = m A + m B v A 2 m A 2 m B

Isolando v a ...

v A = 2 U i m B m A m A + m B

Substituindo os valores que já temos da fórmula acima:

v A   = 2 0,225   J 10 × 10 - 3   k g 5,0 × 10 - 3   k g 5,0 × 10 - 3   k g + 10 × 10 - 3   k g

v a = 7,75   m / s

E como temos que

v B =   - m A v A m B

Então

v b =   - 5,0 × 10 - 3   k g 10 × 10 - 3   k g 7,75 m s

v b =   - 3,87   m / s

Em módulo, v B = 3,87   m / s .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a     U = 0,225   J

b     a A = 45,0   m / s 2 e a B = 22,5   m / s 2

c     v A = 7,75   m / s e   v B = - 3,87   m / s

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