Enunciado

Durante uma competição de aeromodelismo controlado por rádio, cada avião deve voar do centro de um círculo de 1,0 km de raio para qualquer ponto do círculo, e retornar ao centro. O vencedor é o avião com o menor tempo de ida-e-volta. Os concorrentes são livres para fazer seus aviões voarem seguindo qualquer rota, desde que o avião comece no centro, viaje até o círculo, e depois retorne ao centro. No dia da prova, um vento constante sopra do norte a 5,0 m/s. Seu avião pode manter uma rapidez no ar parado de 15 m/s. Você deve fazer seu avião voar contra o vento na ida e a favor do vento na volta, ou cruzando o vento coando primeiro para leste e depois para o oeste? Aumente suas chances calculando o tempo de ida-evolta para ambas as rotas, usando seus conhecimentos sobre vetores e velocidades relativas. Com este cálculo prévio, você pode decidir pela melhor rota e levar vantagem na competição!

Passo 1

MEU DEUS, QUE TEXTÃO!!!

Relaxa e vem comigo entender o que o problema ta dizendo !

O avião tem que sair do centro do circulo e ir para a borda do circulo e depois voltar ao centro! E ele tem que fazer isso no menor tempo possível.

Se é no menor tempo, imaginamos que sua rota vai ser uma reta, porque se ele ficar dando voltas e piruetas o tempo vai ser maior e não é isso que a gente quer.

Então o que temos aqui!?

Independentemente para que ponto da borda o avião for, a distância percorrida na ida, e depois na volta, vai ser igual a do raio do círculo!

Δ S = r a i o = 1   k m

Ai entra outra questão, tem o vento que sopra em velocidade constante v → v e n t o = 5,0 m s   do norte para o sul e a velocidade do avião com o ar parado é v → a v i ã o = 15   m / s .

E o problema sugere duas rotas diferentes. A gente tem que calcular o tempo de voo nos dois casos e ver qual caso dá um tempo de vôo menor pra gente ganhar a corrida.

Ele já dá a dica para gente usar os conhecimentos de velocidade relativa. Então a gente precisa relacionar as velocidades do problema por uma soma vetorial:

v → a v i ã o , c h ã o   = v → a v i ã o , a r + v → v e n t o , c h ã o

Ou seja, a velocidade do avião em relação ao chão é igual a soma da velocidade do avião em relação ao ar com a velocidade do ar em relação ao chão (velocidade do vento).

A parada é usar essa soma para cada situação. Então vamos nessa!!!

Passo 2

Na primeira rota o avião vai voar primeiro contra ao vento e na volta ele vai voar a favor. Vamos fazer um desenho pra entendermos melhor!

Vamos calcular a velocidade do avião em relação ao chão nos dois casos para depois descobrir o tempo, já que a velocidade em relação ao chão vai ditar nossa trajetória e deslocamento.

Na ida o avião esta indo contra o vento, logo nossa soma vai ser uma relação entre as componentes verticais dessas velocidades (já que todas estão na vertical):

v → a v i ã o , c h ã o   = v → a v i ã o , a r + v → v e n t o , c h ã o

v a v i ã o , c h ã o   i d a = v a v i ã o , a r - v v e n t o , c h ã o

v a v i ã o , c h ã o   i d a = 15 - 5 = 10   m / s

Na volta ele esta indo a favor, então temos

v a v i ã o , c h ã o   v o l t a , = v a v i ã o , a r + v v e n t o , c h ã o

v a v i ã o , c h ã o   v o l t a = 15 + 5 = 20   m / s

Passo 3

Mas o que a gente quer é o tempo! A velocidade é

v = Δ S Δ t = r a i o Δ t

Isolando Δ t :

Δ t = r a i o v

O tempo de ida fica:

Δ t i d a = r a i o v a v i ã o , c h ã o   i d a

E o de volta:

Δ t v o l t a = r a i o v a v i ã o , c h ã o   v o l t a

Lembrando que o raio é 1   k m , como a velocidade esta em m / s devemos escrever o raio em metros, com isso r a i o = 1000 m

Queremos o Δ t total, então temos que somar o tempo de ida com o tempo de volta:

Δ t t o t a l = r a i o v a v i ã o , c h ã o   v o l t a + r a i o v a v i ã o , c h ã o   i d a

Δ t t o t a l = 1000 10 + 1000 20 = 100 + 50 = 150   s

Δ t = 150   s

Passo 4

Agora vamos calcular o Δ t para a segunta rota. Nesse caso o avião vai na direção leste e depois volta na direção oeste, dessa forma aqui:

Nesse caso, como o avião (vetor laranja) atravessa o vento (vetor preto) perpendicularmente, a velocidade do avião em relação ao chão na ida e de volta vão ser numéricamente iguais.

E para calcular ela fazemos vamos usar o teorema de pitágoras:

v → a v i ã o , v e n t o   2 = v → a v i ã o , c h ã o 2 + v → v e n t o , c h ã o 2

Isolando v → a v i ã o , c h ã o :

v → a v i ã o , c h ã o = v → a v i ã o , v e n t o   2 - v → v e n t o , c h ã o 2

Substituindo:

v → a v i ã o , c h ã o = 15 2 - 5 2 = 200 = 14,1   m / s

Agora podemos calcular o Δ t , lembrando que a distância é o dobro do raio agora porque essa é a velocidade de ida e volta:

Δ t = 2 × 1000 14,1 = 141,8 s

Se para a primeira rota Δ t = 150   s , maior do que Δ t = 141,8   m / s , então a segunda rota é a melhor!

Resposta

Comparando os dois resultados, é possível notar que o tempo do trajeto cruzando o vento é menor, portanto seria o mais interessante a ser feito.

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