Enunciado

Um elétron descreve uma trajetória helicoidal em um campo magnético uniforme de módulo 0,300 T . O passo da hélice é 6,00 μ m e o módulo da força magnética experimentada pelo elétron é 2,00 × 10 - 15 N . Qual é a velocidade do elétron?

Passo 1

Aqui temos um elétron que faz uma trajetória helicoidal por estar sujeito a um campo magnético e temos que calcular a velocidade do elétron. Olha pra essa imagem aqui embaixo:

Algumas coisas que temos que reparar:

  • Consideramos que o campo B   está para cima, enquanto o movimento do elétron é helicoidal descendo;
  • O passo p e
  • A velocidade v .

Concorda comigo que a distância que um objeto percorre é igual a velocidade multiplicada pelo tempo:

∆ s = v   .   t

Beleza, bem simples, né? Vamos usar essa ideia aqui também. Olha só, a velocidade v pode ser decomposta em duas: uma no eixo z e outra no eixo y :

Vamos chamar a velocidade no eixo z de v B e a velocidade no eixo y de v 1 . Quem ajuda o elétron a fazer o deslocamento paralelo ao campo magnético B ?

É a velocidade v B , sacou o motivo de dar esse nome? Show, então como fica esse deslocamento pra baixo? Já falamos sobre essa fórmula:

∆ s = v   .   t

Se considerarmos que em um ciclo, a partícula desce o tal do passo que desenhamos na primeira figura:

∆ s   → p

Assim como a velocidade que contribui para o movimento é v B . Mas qual é o tempo? Num movimento helicoidal tempo é igual a período:

t   →   T

Ok, vamos substituir na fórmula:

p = v B   .   T

E o período T é dado pela equação:

T =   2 π m q   .   B

Logo o passo p é igual a:

p = v B   .   2 π m q   .   B  

Onde:

  • m é a massa do elétron: m =   9,11 × 10 - 31 k g
  • q é a carga do elétron: q = 1,60 × 10 - 19 C (vamos usar o módulo!)
  • B é o campo elétrico: B = 0,3 T
  • p é o passo: p = 6,00 μ m   = 6   .   10 - 6 m  

Passo 2

Queremos encontrar a velocidade v B , logo vamos isolar ela de um lado só:

v B = p   .   q   .   B 2 π m

Substituindo esses valores na equação acima:

v B = 6,00   .   10 - 6 m   .   1,60   .   10 - 19 C   . 0,30 T 2 π 9,11   .   10 - 31 k g

v B = 2,88   .   10 - 25 57,24   .   10 - 31

v B = 50,3 . 10 3 m / s

Passo 3

Beleza, encontramos uma das componentes de v , mas como encontrar v 1 ? Pela força aplicada ao elétron! Como assim? Olha pra essa imagem aqui:

A força é dada pela equação:

F → = q   v →   × B →

Ou seja, é um produto vetorial entre a velocidade e o campo. Como a componente v B é paralela ao campo magnético, logo ela não produz força, apenas a velocidade v 1 . Então:

F = q v 1 B

onde v 1 é a velocidade transversal.

v 1 = F q B

Substituindo os valores:

F = 2,00 . 10 - 15 N

v 1 = 2,00 . 10 - 15 N 1,60   .   10 - 19 C . 0,30 T

v 1 = 41,7 × 10 3 m / s

Passo 4

Através do triângulo retângulo formado pelas velocidades, podemos encontrar v por:

v = v 1 2 + v B 2

Substituindo os valores que encontramos:

v = 41,7 . 10 3 m / s 2 + 50,3   . 10 3 m / s 2

v =   1738,89   .   10 6 + 2530,09   .   10 6

v =   4268,98   .   10 6   m / s

v = 65,3 . 10 3 m / s = 65,3   k m / s

Resposta

  65,3   k m / s

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