Enunciado

Um elétron de massa m e velocidade v “colide” com um fóton de raios gama cuja energia é h f 0 no referencial do laboratório. O fóton é espalhado na direção do movimento do elétron. Mostre que a energia do fóton espalhado, no referencial do laboratório, é dada por

E = h f 0 1 + 2 h f 0 m c 2 1 + v c 1 - v c - 1

Passo 1

Bom, nesse espalhamento, o elétron já tem uma energia cinética que faz com que ele se mova em relação ao referencial de laboratório, então a equação do efeito Compton não é válida, só seria se ele estivesse incialmente em repouso.

Vamos então considerar o referencial do elétron, então a velocidade relativa dele em relação a ele mesmo tem que ser zero, os termos que aparecerem com apostrofo estarão no referencial do elétron. Agora sim podemos aplicar a equação do efeito Compton:

∆ λ ' = λ ' - λ 0 ' = h m c 1 - c o s π = 2 h m c

O motivo de usarmos ϕ = π é porque o fóton inverte o seu sentido com o espalhamento.

Passo 2

Agora precisamos da equação do efeito Doppler para a luz, já que estamos falando de uma partícula relativística:

f 0 ' = c λ 0 ' = f 0 1 + β 1 - β

A frequência do fóton após o espalhamento vai ser dada por:

f = f ' 1 - β 1 + β = c λ ' 1 - β 1 + β

Onde β = v / c

Usamos essas duas equações porque precisamos passar a situação para o referencial de laboratório

Passo 3

Explicitando os comprimentos de onda λ ' e λ 0 ' , e substituindo eles na equação do efeito Compton do passo 1, a gente fica com o seguinte:

∆ λ ' = 1 f 1 - β 1 + β - 1 f 0 1 - β 1 + β = 2 h m c 2

E depois somente de manipulações algébricas, a gente chega em:

E = h f 0 1 + 2 h f 0 m c 2 1 + v c 1 - v c - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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