Um elétron e um próton se movem a 735   k m / s cada um, em trajetórias perpendiculares, como indica a Figura E28.8. No instante em que eles estão nas posições indicadas na figura, determine o módulo, a direção e o sentido: (a) do campo magnético total que eles produzem na origem; (b) o campo magnético que o elétron produz no local do próton; (c) a força elétrica total e a força magnética total que o elétron exerce sobre o próton.

Passo 1

E aiiii gente, tudo bom com vocês??

Vamos fazer mais uma questãozinha aqui.

Vem comigo!

O enunciado pede pra gente trabalhar com campos magnéticos, forças elétricas e magnéticas em vários pontos. Precisamos lembrar de algumas relações O campo magnético devido a uma carga em movimento é dado pela expressão:

B = μ 0 4 π q ⋅ v ⋅ s i n ϕ r 2

A força elétrica entre cargas elétricas pode ser calculada por:

F e l = q 1 q 2 4 π ϵ 0 ⋅ d 2

A força magnética é dada por:

F m a g = q ⋅ v ⋅ B ⋅ s e n ϕ

Além disso, o enunciado informa que as trajetórias entre o elétron e o próton são perpendiculares entre si, e eles possuem uma velocidade de:

v = 735   k m / s

Ou seja:

v = 7,35 × 10 5   m / s

Vamos ao ataque!

Passo 2

Na letra (a), precisamos calcular o campo magnético total produzido pelas cargas, na origem! Ambos os campos estão na página, então suas magnitudes somam, da seguinte maneira:

B T = B e + B p

Como ambas estão perpendiculares entre si, e também perpendiculares aos eixos x e y , o ângulo é ϕ = 90 ° ! Além disso, como são cargas com sinais opostos, o vetor campo magnético será a soma do vetor resultantes na origem. O elétron, pela regra da mão direita, produz um campo entrando no plano x y , na origem. O próton, pela regra da mão direita, também produz um campo entrando no plano x y , na origem. Dessa forma, o modulo é dado por:

B T = μ 0 4 π ⋅ e ⋅ v r e 2 ⋅ s e n   90 ° + μ 0 4 π ⋅ e ⋅ v r p 2 ⋅ s e n   90 °  

B T = μ 0 4 π e v r e 2 + e v r p 2 sin ⁡ 90 ∘

Simplificando, temos:

B T = μ 0 ⋅ e ⋅ v 4 π 1 r e 2 + 1 r p 2 = μ 0 ⋅ e ⋅ v 4 π r p 2 + r e 2 r p ⋅ r e 2

Pela imagem, sabemos que:

e = 1,6 × 10 - 19   C

μ 0 = 4 π × 10 - 7   T ⋅ m / A

E que:

r e = 5,00   n m = 5 × 10 - 9   m

r p = 4,00   n m = 4 × 10 - 9   m

Substituindo os valores, temos:

B T = ( 4 π × 10 - 7 ) ⋅ 1,6 × 10 - 19 ⋅ 7,35 × 10 5 4 π ⋅ 4 × 10 - 9 2 + 5 × 10 - 9 2 4 × 10 - 9 ⋅ 5 × 10 - 9 2

Simplificando nossa expressão, temos:

B T = 11,76 × 10 - 21 ⋅ 16 × 10 - 18 + 25 × 10 - 18 20 × 10 - 18 2

B T = 11,76 × 10 - 21 ⋅ 41 × 10 - 18 400 × 10 - 36

B T ≈ 1,21 × 10 - 3   T = 1,21   m T

Com sentido para dentro da página!

Passo 3

No item (b), precisamos encontrar o campo magnético que o elétron irá produzir na posição do próton. Com isso, precisamos encontrar a distância entre o elétron e o próton. Vamos esquematizar:

Repare que a distância entre as duas partículas agora é formada pela reta que une os dois. Podemos encontrar o valor fazendo Pitágoras:

d 2 = 5 2 + 4 2

Repare que a distância será dada em nanômetros!

d 2 = 41

d = 41   n m = 41 × 10 - 9   m

Perfeito! Agora que sabemos a distância, repare que a velocidade do elétron com relação a reta que une as duas partículas forma um ângulo ϕ que é o mesmo ângulo ϕ que de inclinação de d com relação a horizontal! Dessa forma, temos que:

s e n ϕ = 5 41

Com isso, temos:

B e = μ 0 4 π ⋅ e ⋅ v d 2 s e n ϕ

O sentido do campo magnético é dado pela regra da mão direita. Como o elétron é uma carga negativa, orientamos a regra da mão direita no sentido oposto de sua velocidade. Com isso, o campo magnético está entrando no plano x y no próton! Seu módulo será:

B e = 4 π × 10 - 7 4 π 1,6 × 10 - 19 ⋅ 7,35 × 10 5 41 × 10 - 9 2 ⋅ 5 × 10 - 9 41   × 10 - 9

Simplificando a expressão temos:

B e = 58,8 × 10 - 30 41 41 × 10 - 27

O módulo do campo magnético produzido pelo elétron é:

B e ≈ 0,224 × 10 - 3   T = 0,224   m T

Com o sentido para dentro da página!

Passo 4

No item (c), devemos calcular a força elétrica e a força magnética produzida pelo elétron sobre o próton. Para a força elétrica, precisaremos apenas usar a distância d que encontramos anteriormente. Dessa forma, teremos:

F e l = e ⋅ e 4 π ϵ o ⋅ d 2 = e 2 4 π ϵ o ⋅ d 2

Substituindo as informações, temos:

F e l = 1,6 × 10 - 19 2 4 π ⋅ 8,85 × 10 - 12 ⋅ 41 × 10 - 18  

Simplificando a expressão, temos:

F e l ≈ 5,61 × 10 - 12   N

Essa força é atrativa e está na direção de d e aponta na direção do elétron!

Para a força magnética, temos:

F m a g = e ⋅ v ⋅ B e ⋅ s e n ϕ

Repare que precisamos saber s e n ϕ , que é justamente o que vimos na questão anterior. Substituindo as informações, temos:

F m a g = 1,6 × 10 - 19 ⋅ 7,35 × 10 5 ⋅ 0,224 × 10 - 3 ⋅ 5 41  

Resolvendo essa expressão, temos:

F e l ≈ 5,61 × 10 - 12   N

Como o campo é perpendicular a página e sua velocidade (do próton) é vertical para baixo, pela regra da mão direita, a força magnética será dada na direção e sentido de + x ^ !

Resposta

  1. B = 1,21 × 10 - 3   T = 1,21   m T para dentro da página
  2. 0,223 × 10 - 3   T ,  para dentro da  pagina .
  3. F e l ≈ 5,61 × 10 - 12   N e F e l ≈ 5,61 × 10 - 12   N
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