Enunciado

Como engenheiro-chefe de projetos de uma grande fábrica de brinquedos, você deve projetar um brinquedo tipo montanha-russa. A idéia, como mostrada na figura, é que a bolinha de massa m e raio r deve descer rolando um trilho inclinado e percorrer o laço circular que o trilho forma, sem deslizar. A bolinha parte do repouso de uma altura h acima da mesa sobre a qual está o trilho. O raio do laço é R . Determine a menor altura h , em termos de R e de r , para a qual a bolinha permanecerá em contato com o trilho durante todo o percurso. (Não despreze o raio da bolinha em seus cálculos.)

Passo 1

O enunciado diz que depois de escorregar do plano, “a bolinha permanecerá em contato com o trilho durante todo percurso”. Mas, em questões de energia, isso é equivalente a o que? Significa que ela precisa ter energia suficiente para chegar ao ponto mais alto do trilho, e nesse ponto, ele precisa estar prestes a perder contato, ou seja, N = 0 . Então vamos lá fazer as contas e garantir isso.

Passo 2

Conservação de energia:

m g h = m v 2 2 + I ω 2 2 + m g h '

Em que h ' = 2 R - r . Sabemos também que I = 2 5 m r 2 , e como ela rola sem deslizar, v = ω r .

m g h = m v 2 2 + 2 5 m r 2 v r 2 2 + m g 2 R - r

m v 2 2 + m v 2 5 = m g h + r - 2 R

7 10 v 2 = g ( h + r - 2 R )

Passo 3

Já olhamos para a energia, agora vamos para a parte do looping. Para fazer a volta completa com a menor velocidade possível, no ponto mais alto a bola está prestes a perder contato com a superfície, ou seja, N = 0 :

F c p = N + m g ≅ m g

m v 2 R - r = m g

v 2 = g ( R - r )

Passo 4

Substituindo na equação da energia:

7 10 g R - r = g h + r - 2 R

7 R - 7 r = 10 h + 10 r - 20 R

10 h = 27 R - 17 r

h = 2.7 R - 1.7 r

Resposta

h = 2.7 R - 1.7 r

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