Enunciado

A equação 1/p + 1/i = 2/r para espelhos esféricos é uma aproximação que é válida apenas se a imagem for formada por raios que façam pequenos ângulos com o eixo central. Na verdade, muitos ângulos não são pequenos, o que reduz a nitidez da imagem. É possível analisar matematicamente este efeito. Observe a Fig. 34-22 e considere um raio que parte de uma fonte pontual (o objeto) situada no eixo central e faz um ângulo a com o eixo. Para começar, determine o ponto de interseção do raio com o espelho. Se as coordenadas do ponto de interseção são x e y e a origem é o centro de curvatura do espelho, y = (x + p – r) tan a e x 2 + y 2 = r 2 , em que p é a distância do objeto e r é o raio de curvatura do espelho. Em seguida, use a relação tan b = y/x para calcular a inclinação β da reta que liga o centro de curvatura ao ponto de interseção e use a relação α + γ = 2β para determinar a inclinação γ da reta que liga a imagem ao ponto de interseção. Finalmente, use a relação tan γ = y/(x + i – r) para calcular a distância i da imagem. (a) Suponha que r = 12 cm e p = 20 cm. Para os valores seguintes de a, determine a posição da imagem, ou seja, a posição do ponto em que o raio refletido intercepta o eixo central: 0,500; 0,100; 0,0100 rad. Compare os resultados com os obtidos usando a equação 1/p + 1/i = 2/r. (b) Repita os cálculos para p = 4,00 cm

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vai ser tranquilo, vem comigo.

Letra a:

Temos α = 0.500 r a d ,     r = 12 c m ,     p = 20 c m .

A distância do objeto ao ponto x:

d = p - r + x = 8 + x y = d t a n ⁡ α = 4.3704 + 0.54630 x

Da solução de x 2 + y 2 = r 2 temos x = 8.1398 .

β = t a n - 1 ⁡ ( y / x ) = 0.8253 r a d γ = 2 β - α = 1.151 r a d

Da solução de tan ⁡ γ = y x + i - r   obtemos i = 7.799 . Os outros resultados são mostrados sem as etapas intermediárias:

Para α = 0.100 r a d ,   temos  i = 8.544 c m .

Para α = 0.0100 r a d ,   temos  i = 8.571 c m .

Então, da equação do espelho temos:

i = 8.571 c m  

Passo 2

Letra b:

Aqui os resultados são:

α = 0.500 r a d , i = - 13.56 c m

( α = 0.100 r a d , i = - 12.05 c m )

α = 0.0100 r a d , i = - 12.00 c m

A equação do espelho nos dá:

i = - 12.00 c m

Resposta

  1. i = 8.571 c m  
  2. i = - 12.00 c m
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