Enunciado

A Equação ( 5.10 ) se aplica ao caso em que a velocidade inicial é igual a zero.

a) Deduza a equação correspondente para o caso de v y ( t ) quando o objeto em queda apresenta uma velocidade inicial de cima para baixo com módulo v 0 .

b) Para o caso em que v 0 < v t , desenhe um gráfico de v y em função de   t e assinale v t   no gráfico.

c) Repita o item ( b ) para o caso em que v 0 > v t .

d) Discuta o que o seu resultado revela sobre v y ( t )   quando v 0 = v t .

Passo 1

Sabemos que a força se relaciona com a derivada da velocidade, certo?

F r = m d v d t

E temos uma expressão da força em função da velocidade:

m d v d t = m g - k v

Dividindo pela massa teremos:

d v d t = m g - k v m = g - k m v

E aqui um truque sujo! Saca só:

d v d t = k m m g k - v

Substituindo m g / k por v t teremos:

d v d t = k m ( v t - v )

E multiplicando por d t dos dois lados podemos integrar:

d v v - v t = - k m d t

∫ v 0 v t d v v - v t = - k m ∫ 0 t d t

ln ⁡ v - v t v 0 v = - k m t ​ 0 t

ln ⁡ v - v t - ln ⁡ v 0 - v t = - k m t

ln ⁡ v - v t v 0 - v t = - k m t

v - v t v 0 - v t = e - k m t

v t = v 0 e - k m t + v t 1 - e - k m t

Passo 2

Se tivermos v t < v 0 que dizer que a força gravitacional é maior do que a força de resistência do fluido e a aceleração aponta para baixo, até o momento em que a gravidade se equilave a força de resistência e a velocidade terminal é atingida. A velocidade vai aumentando, mas como a aceleração é negativa, ela atinge a um patamar e mantém a mesma velocidade v t . O gráfico que representa isso é:

Passo 3

Se a velocidade inicial for menor do que a velocidade terminal v 0 > v t , a força de resistência do líquido será em módulo maior do que a força gravitacional, com isso a aceleração resultante vai ser positiva, para cima, o que vai fazer com que a velocidade (que aponta inicialmente para baixo) diminua até atingir o valor da velocidade terminal. Quando esse valor for atingido, permanecerá assim sempre, pois aí a força resultante será zero e a velocidade será constante. O gráfico que mostra esse comportamento ta aqui:

Passo 4

Quando v 0 = v t há um equilíbrio de forças e a aceleração em t = 0 é zero e assim permanece. A velocidade é constante e permanece assim durante todo o movimento.

Resposta

a )   v t = v 0 e - k m t + v t 1 - e - k m t

b )  

c )

d )   v t = v 0 = v t   e m   t o d o   m o v i m e n t o

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