Enunciado

A equação do estado de van der Waals é a representação aproximada do comportamente de gases com pressões elevadas, sendo dada pela Equação (18.7):

P + a n 2 V 2 V - n b = n R T

Onde a e b são constante que possuem valores diferentes em cada tipo de gás. (No caso aprticular em que a = b = 0 , esta é a equação do gás ideal.) a) Calcule o trabalho realizado por um gás que segue essa equação de estado quando ele se expande de um volume V 1 até um volume V 2 . Mostre que seu resultado concorda com o trabalho realizado por um gás ideal obtido no Exemplo 19.1 (Seção 19.2) quando você faz a = b = 0 . b) Para o etano ( C 2 H 6 ) , a = 0,554   J ⋅ m 3 / m o l 2 ) e b = 6,38 × 10 5   m 3 / m o l . Calcule o trabalho W realizado por 1,80   m o l de etano quando ele se expande de 2,0 × 10 - 3   m 3 até 4,0 × 10 - 3   m 3 à temperatura constante de 300   K . Faça os cálculos usando i) a equação de estado de van der Waals e ii) a equação de estado do gás ideal. c) Qual é a diferença entre os dois resultados do cálculo de W no item (b)? Use a interpretação dada na Seção 18,1 para as constantes a e b para explicar a razão desse resultado. A diferença entre as duas equações de estado é importante neste caso?

Passo 1

a) No exemplo 19.1 a temperatura não varia, então usamos seguinte a equação para calcular o trabalho do gás:

W = ∫ V 1 V 2 P d V

E já que não podemos usar a pressão poque ela está variando com o volume, usamos a equação dos gases ideais para substituir P , assim podemos integrar, já que ao substituirmos, a pressão some e a equação passa a depender somente do volume como variável.

No caso dessa questão, vamos usar a equação de Van der Waals dada no enunciado no lugar da equação dos gases ideais. Ao isolarmos a pressão, ela fica:

P = n R T V - n b - a n 2 V 2

Substituindo na equação do trabalho:

W = ∫ V 1 V 2 n R T V - n b - a n 2 V 2 d V

Integrando:

W = n R T ln ⁡ V 2 - n b V 1 - n b + a n 2 1 V 2 - 1 V 1

Se a = b = 0 , a equação se transforma em:

W = n R T ln ⁡ V 2 V 1

Que concorda com o resultado do exemplo.

Passo 2

b) i) Vamos usar os valores dados no enunciado na equação do trabalho que encontramos na letra (a):

W = n R T ln ⁡ V 2 - n b V 1 - n b + a n 2 1 V 2 - 1 V 1

W = 1,80   m o l 8,3145 J m o l ⋅ K 300   K ln ⁡ ( 4,00 × 10 - 3   m 3 - ( 1,80   m o l ) ( 6,38 × 10 - 3   m 2 / m o l ( 2,00 × 10 - 3   m 3 - ( 1,80   m o l ) ( 6,38 × 10 - 3   m 2 / m o l + 0,554   J ⋅ m 3 / m o l 2 1,80   m o l 2 1 4 , 00 × 10 - 3   m 3 - 1 2,00 × 10 - 3   m 3

W = 2,80 × 10 3   J

ii) E usando a equação obtida pela equação dos gases ideais:

W = ( 1,80   m o l ) 8,3145 J m o l ⋅ K 300   K l n 4,00 × 10 - 3   m 3 2 , 00 × 10 - 3   m 3

W = 3,11 × 10 3   J

Passo 3

c) O segundo valor é 310   J maior que o primeiro, o fato das constantes não serem zero indica que as moléculas são mais fortemente atraídas e por isso não realizam tanto trabalho quanto um gás ideal em sua expansão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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