Enunciado

Sua equipe é encarregada de lançar um grande balão meteorológico de hélio esférico em forma e cujo raio é de 2,5 me massa total é de 15 kg (balão mais hélio mais equipamentos).

a) Qual é a aceleração inicial ascendente do balão quando é liberado do nível do mar?)

b)Se a força de arrasto no balão é dada por F D = 1 2 π r 2 ρ v 2 , onde r é o raio do balão, ρ é a densidade do ar e v a velodicade de ascensão do balão, calcule a velocidade terminal do balão ascendente.

Passo 1

Primeiro vamos imaginar o problema: Temos um balão e queremos achar a aceleração e a velocidade do balão devido as condições iniciais e as formulas de arrasto.

Analisando as forças, temos que: As forças agindo no balão estão a força flutuante B, mg de peso e força de arrasto FD. Nós podemos encontrar a aceleração ascendente inicial do balão aplicando a segunda lei de Newton no instante em que é liberada. Podemos encontrar a velocidade terminal do balão, reconhecendo que quando ay = 0, a força resultante que atua sobre balão será zero. Portanto, temos que:

B - m b a l a o * g =   m b a l a o * a y

Passo 2

Usando o princípio de Arquimedes, a gente pode expressar que a força de flutuação no balão é:

B = w f l u i d o   d e s l o c a d o = m f l u i d o   d e s l o c a d o * g = ρ f l u i d o   d e s l o c a d o * V f l u i d o   d e s l o c a d o * g

ρ a r * V b a l a o * g = 4 3 π ρ a r * r 3 * g

Sabendo disso, podemos realocar a nossa equação na equação de cima.

4 3 π ρ a r r 3 g - m b a l a o g = m b a l a o a y

Isolando o nosso a y , que corresponde a aceleração no eixo y, temos que:

a y = 4 3 π ρ a r r 3 m b a l a o - 1 g

A partir de agora basta substituir os valores numéricos na equação:

a y = 4 3 π * 1.29 * 2.5 3 15 - 1 9.81 = 45 m / s 2

Passo 3

Agora temos a aceleração, portanto aplicamos o nosso m a y :

B - m g - 1 2 π r 2 ρ v 2 = 0

4 3 π ρ a r r 3 g - m g - 1 2 π r 2 ρ v t 2 = 0

v t = 2 4 3 π ρ a r r 3 - m g π r 2 ρ

Portanto, bastamos inserir os valores numéricos e acahr o valor da velocidade do balão!

v t = 2 4 3 π * 1.29 * 2.5 3 - 15 9.81 π * 2.5 2 * 1,29 = 7.33 m / s

Resposta

a y = 45 m / s 2

v t = 7.33 m / s

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