Enunciado

O peso da coroa de um rei é p . Quando suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na água, a tensão na corda (o peso aparentemente da coroa é) é igual a f p . a) Mostre que a densidade relativa da coroa é dada por 1 / ( 1 - f ) . Discuta o significado dos limites quando f = 0 e f = 1 . b) Se a coroa for de ouro sólido e pesar 12,9 N no ar, qual será o eu peso aparente quando estiver totalmente imersa na água? c) Repita a parte (b) se a coroa for de chumbo sólido com uma camada muito fina de ouro, porém com peso ainda igual a 12,9 N no ar.

Passo 1

Aplicaremos a segunda lei de Newton à coroa. A força de flutuação é dada pelo princípio de Arquimedes.

A variável alvo é a razão ρ c / ρ w , onde ( c   =   c o r o a ,   w   =   á g u a ).

Vamos esboçar um diagrama de corpo livre para a coroa.

Passo 2

  1. Assim, aplicando
  2. ∑ F y = m a y

    Temos que

    T + B - w = 0

    T = f w

    B = ρ w V c g

    Onde ρ w = d e n s i d a d e   d a   á g u a   e V c = v o l u m e   d a   c o r o a .

    Então,

    f w + ρ w V c g - w = 0

    1 - f w = ρ _ w V c g

    Usando w = ρ c V c g , onde ρ c = d e n s i d a d e   d a   c o r o a .  

    Então,

    1 - f ρ c V c g = ρ w V c g

    Isso implica que

    ρ c ρ w = 1 1 - f

    como era para ser mostrado.

    f   →   0 fornece ρ c / ρ w = 1 e T = 0 . Esses valores são consistentes. Se a densidade da coroa for igual à densidade de água, a coroa flutua, totalmente submersa, e a tensão deve ser zero.

    Quando f   →   1 , ρ c   > >   ρ w   e T = w . Se ρ c   > >   ρ w , então B é desprezível em relação ao peso w da coroa e T deve ser igual a w.

    Passo 3

  3. "Peso aparente" é igual a T na corda quando a coroa é imersa em água. T   =   f w , então é necessário calcular   f .
  4. Sabemos que ρ c = 19,3 × 10 3   k g / m 3 e ρ w = 1 , , 00 × 10 3   k g / m 3

    Logo

    ρ c ρ w = 1 1 - f

    Nos da que

    19,3 × 10 3   k g / m 3 1 , , 00 × 10 3   k g / m 3 = 1 1 - f

    19,3 = 1 1 - f

    E

    f = 0,9482

    Então

    T   =   f w = 0,9482 12,9   N = 12,2   N

    Passo 4

  5. Agora a densidade da coroa é muito próxima da densidade do chumbo;

Sabemos que agora ρ c = 11,3 × 10 3 k g / m 3

Logo

ρ c ρ w = 1 1 - f

Nos da que

11 , 3 × 10 3   k g / m 3 1 , , 00 × 10 3   k g / m 3 = 1 1 - f

1 1 , 3 = 1 1 - f

E

f = 0,9 115

Então

T   =   f w = 0,9115 12,9   N = 1 1 , 8   N

Na parte (c) a densidade média da coroa é menor que na parte (b), portanto o volume é maior. B é maior e T é menor. Essas medidas podem ser usadas para determinar se a coroa é ouro maciço, sem danificar a coroa.

Resposta

  1. Foi mostrado que ρ c ρ w = 1 1 - f
  2. 12,2   N
  3. 11,8   N
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