Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 12.1 - Ex. 37

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Uma escada homogênea está apoiada contra uma parede vertical sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre a escada e o piso é 0,30 . Qual é o menor ângulo entre a escada e a horizontal para que a escada não escorregue?

Passo 1

Pelo enunciado, queremos determinar o menor ângulo para que a escada não escorregue, ou seja, fique paradinha em equilíbrio. As condições para um corpo rígido ficar em equilíbrio são:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ τ = 0

Precisamos começar fazendo o diagrama de corpo livre da escada

Temos a força peso P atuando no centro de massa da escada (sua metade), as forças normais que surgem do contato entre escada e parede N 2 e escada e solo N 1 . E para fechar temos a força de atrito entre escada e solo que impede que a escada deslize para a esquerda.

Nós demos um nome genérico ao comprimento da escada, chamamos de L . E também chamamos o ângulo que a escada faz com a horizontal de θ .

Perceba que a gente escreveu que a força de atrito é máxima. Por que? Cara, como a gente quer o ângulo mínimo para que a escada não deslize, temos que a escada deve estar bem perto de deslizar, ou seja, na iminência do deslizamento.

Nesse momento, temos a força de atrito máxima, que tem essa fórmulinha:

f a t m á x = μ N 1

Sendo que o enunciado já disse que μ , o coeficiente de atrito entre escada e solo, vale 0,3 :

f a t m á x = 0,3 N 1

Agora pensa comigo: tudo está paradinho, né? Então podemos usar as equações de equilíbrio

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ τ = 0

A partir delas, conseguimos achar θ como pede o enunciado. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pelo equilíbrio de forças na horizontal e na vertical.

Considerando que forças positivas estão viradas para cima, o somatório de forças na vertical fica

∑ F y = 0

- P + N 1 = 0

N 1 = P

Agora olhando para as forças horiozontais, considerando as forças positivas para a direita, temos que

∑ F x = 0

f a t m á x - N 2 = 0

N 2 = f a t m á x

Lembrando que vimos no passo 1 que f a t m á x = 0,3 N 1 , temos

N 2 = f a t m á x = 0,3 N 1

Sendo que vimos que N 1 = P ali no somatório de forças na vertical

N 2 = f a t m á x = 0,3 P

Resumindo, achamos que

N 2 = f a t m á x = 0,3 P

N 1 = P

Passo 3

Falta usar uma outra equação de equilíbrio: a de torques! Afinal, a escada não está girando. Portanto o somatório de torques será nulo.

Vamos calcular o somatório de torques em relação ao ponto onde a escada encosta no piso, que chamaremos de ponto P . E a gente vai considerar que se a força tende a girar a escada no sentido anti-horário, o torque gerado por ela é positivo, caso contrário, negativo.

O torque vai ser dado pelo produto entre a força e d , onde d é uma distância entre a linha de ação da força e o ponto onde queremos o torque. d e a força precisam ser perpendiculares.

Para começar, nota o seguinte, d para as forças f m a x e N 1 é nulo por que elas estão sendo aplicadas no eixo de rotação! Por esse motivo, elas não contribuem para o torque!

Vamos marcar o d de cada força restante no nosso diagrama de corpo livre

Percebe que d p é a distância perpendicular entre a linha de aplicação de P e o eixo de rotação que passa pelo ponto P . E essa força tende a girar a escada no sentido horário, então o torque fica negativo e é

τ p = - P d p

Para achar d p usamos o triângulo que pode ser encontrado na figura

Temos um triângulo retângulo, então podemos escrever

c o s   θ = d P L / 2 → d p = L 2 cos ⁡ θ

Aí o torque fica

τ p = - P L 2 cos ⁡ θ

Agora para a força N 2 , a distância entre sua linha de ação e P é d F   e ela tende a girar nossa escada no sentido anti-horário, então temos

τ F = N 2 d F

E para achar d F , usamos o triângulo

Usando trigonometria

s e n   θ = d F L → d F = L   s e n   θ

O torque fica

τ F = N 2 L s e n   θ

Mas lembra que no passo anterioe, achamos que N 2 = 0,3 P :

τ F = 0,3 P L s e n θ

Passo 4

Show, agora vamos montar a equação de equilíbrio

∑ τ = 0

0,3 P L s e n θ - P L 2 cos ⁡ θ = 0  

Queremos θ . Então vamos isolá-lo. Dividindo tudo por P L

0,3 s e n θ - 1 2 cos ⁡ θ = 0  

Isolando θ

0,3   s e n   θ = 1 2 cos ⁡ θ

s e n   θ cos ⁡ θ = 1 2 0,3

t g θ = 1 2 ⋅ 0,30

Portanto,

θ = arctan ⁡ 1 0,6 ≈ 59 °

Resposta

θ ≈ 59 °

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