Enunciado

A extremidade de um poste que pesa 400 N e de altura h está apoiada sobre uma superfície horizontal com μs 0,30. A extremidade superior do poste está sustentada por uma corda amarrada à superfície horizontal e fazendo um ângulo de 36,9° com o poste (Figura P11.90). Uma força horizontal é aplicada sobre o poste conforme indicado. (a) Quando a força é aplicada em seu centro, qual deve ser seu módulo máximo para que o poste não comece a deslizar? (b) Se o ponto de aplicação da força está situado a seis décimos da altura do poste a partir de sua base, qual deve ser o módulo máximo da força para que o poste não comece a deslizar? (c) Mostre que, se o ponto de aplicação da força estiver situado em um ponto muito elevado, o poste não poderá deslizar, por maior que seja o módulo da força. Ache a altura crítica para o ponto de aplicação dessa força.

Passo 1

E aiiiiiiiii galera, tudo bom com vocês?

Vamos fazer mais uma questão!!

Bom... o enunciado nos diz que a extremidade de um poste que pesa 400   N   e de altura h está apoiada sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito estático μ s   0,30 , conforme a figura:

A extremidade superior do poste está sustentada por uma corda amarrada à superfície horizontal e fazendo um ângulo de 36,9 ° com o poste.

Uma força horizontal F é aplicada sobre o poste conforme indicado.

Queremos calcular na letra (a) o módulo máximo da força F de forma que o poste não comece a deslizar.

Na letra (b) a gente vai faze a mesma coisa, mas com seis décimos da altura do poste a partir de sua base.

Por fim, na letra (c), queremos mostrar que, se o ponto de aplicação da força estiver situado em um ponto muito elevado, o poste não poderá deslizar, por maior que seja o módulo da força.

Passo 2

Letra a:

Abaixo temos o diagrama de corpo livre:

E agora, vamos equacionar:

Para ∑ τ A = 0

0 T + + n 2 F + 0 W + 0 N - h F s = 0

F = 2 F s → F ≤ 2 μ s N

Onde T é a tensão da corda, N é a normal, W é a força peso e F s é a força de atrito.

Passo 3

Para ∑ F x = 0

F - Tsin ⁡ 36.9 ∘ - F s = 0

2 F s - T s i n ⁡ 36.9 ∘ - F s = 0

F s - T s i n ⁡ 36.9 ∘ = 0

T = F s sin ⁡ 36.9 ∘

T ≤ μ s N sin ⁡ 36.9 ∘                                 2

Para ∑ F y = 0

N - W - Tcos ⁡ 36.9 ∘ = 0

N = W + Tcos ⁡ 36.9 ∘

Aplicando a equação 2 :

N ≤ W + μ S N sin ⁡ 36.9 ∘ c o s ⁡ 36.9 ∘

N ≤ W + μ S N tan ⁡ 36.9 ∘

N - μ s N tan ⁡ 36.9 ∘ ≤ W

N 1 - μ s tan ⁡ 36.9 ∘ ≤ W

N ≤ W 1 - μ s tan ⁡ 36.9 ∘

Passo 4

Substituindo os valores, temos:

N ≤ 400 1 - 0.30 tan ⁡ 36.9 ∘

N ≤ 666.18 N

Dessa forma, a força F é:

F ≤ 2 0.30 666.18 → F ≤ 399.71 N

A magnitude máxima de F é 400 N sem o deslizamento do poste.

Passo 5

Letra b:

Abaixo, o diagrama de corpo livre para o poste, só que com outras variáveis de altura.

Sabemos que:

∑ τ A = 0

Logo:

4 h 10 F - ( h ) F s = 0

F = 5 2 F s

F ≤ 5 2 μ s N

Vamos chamar F ≤ 5 2 μ s N de equação 3 .

Passo 6

De forma análoga a letra (a), vamos verificar as forças na horizontal:

∑ F x = 0

F - Tsin ⁡ 36.9 ∘ - F s = 0

Aplicando a equação 3 , temos:

5 2 F s - T s i n ⁡ 36.9 ∘ - F s = 0

3 2 F s - T s i n ⁡ 36.9 ∘ = 0

T = 3 F s 2 sin ⁡ 36.9 ∘

T ≤ 3 μ s N 2 sin ⁡ 36.9 ∘

Vamos chamar T ≤ 3 μ s N 2 sin ⁡ 36.9 ∘ de equação 4 .

Passo 7

Agora para as forças na vertical, temos:

∑ F y = 0

N - W - T cos ⁡ 36.9 ∘ = 0

N = W + T cos ⁡ 36.9 ∘

Aplicando a equação 4 :

N ≤ W + 3 μ s N 2 sin ⁡ 36.9 ∘ cos ⁡ 36.9 ∘

N ≤ W + 3 μ s N 2 tan ⁡ 36.9 ∘

F ≤ 5 2 0.30 666.18

F ≤ 748.77 N

A magnitude máxima de F é 749   N sem que o poste escorregue.

Passo 8

Letra c:

Olhando o diagrama de corpo livre da questão anterior, substituindo as alturas de 4 h 10 e 6 h 10 por h-y e y, respectivamente, temos:

∑ τ A = 0

( h - y ) F - ( h ) F s = 0

F = h h - y F s

F ≤ h h - y μ s N

Vamos chamar F ≤ h h - y μ s N de equação 5 .

Passo 9

Analisando as forças na horizontal, temos:

∑ F x = 0

F - T s i n ⁡ 36.9 ∘ - F s = 0

Aplicando a equação 5 , temos:

h h - y F s - Tsin ⁡ 36.9 ∘ - F s = 0

h h - y - 1 F s - T s i n ⁡ 36.9 ∘ = 0

T = h h - y - 1 F S sin ⁡ 36.9 ∘

T ≤ h h - y - 1 μ s N sin ⁡ 36.9 ∘

Vamos chamar T ≤ h h - y - 1 μ s N sin ⁡ 36.9 ∘ de equação 6 .

Passo 10

Pelas forças na vertical, temos:

∑ F y = 0

N - W - T cos ⁡ 36.9 ∘ = 0

N = W + T cos ⁡ 36.9 ∘

Aplicando a equação 6 , temos:

N ≤ W + h h - y - 1 μ s N sin ⁡ 36.9 ∘ cos ⁡ 36.9 ∘

N ≤ W + h h - y - 1 μ s N tan ⁡ 36.9 ∘

Portanto:

F ≤ h h - y μ s W tan ⁡ 36.9 ∘ tan ⁡ 36.9 ∘ - μ s h - h - y h - y = h h - y μ s W tan ⁡ 36.9 ∘ tan ⁡ 36.9 ∘ - μ s y h - y

F ≤ h μ s tan ⁡ 36.9 tan ⁡ 36.9 ∘ h - y - μ s y W = μ s tan ⁡ 36.9 tan ⁡ 36.9 ∘ 1 - y h - μ s y h W

Caso o denominador do termo entre parênteses seja zero, o limite para F seria o infinito.

Passo 11

A altura crítica é fornecida quando o denominador da expressão acima entre parênteses é zero:

tan ⁡ 36.9 ∘ h - y - μ s y = 0

tan ⁡ 36.9 ∘ h - tan ⁡ 36.9 ∘ y = μ s y

tan ⁡ 36.9 ∘ h = μ s y + tan ⁡ 36.9 ∘ y

y = tan ⁡ 36.9 ∘ h μ s + tan ⁡ 36.9 ∘

y = 0.7145 h

Resposta

  1. A magnitude máxima de F é 400   N sem o deslizamento do poste.
  2. A magnitude máxima de F é 749   N sem que o poste escorregue.
  3. y = 0.7145 h
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