Enunciado

Uma esfera de cobre sólida e enegrecida, com raio igual a 4,0 cm, fica em um gabinete evacuado cujas paredes têm uma temperatura de 20°C. Se a esfera estiver inicialmente a 0°C, encontre a taxa inicial na qual a temperatura muda, assumindo que o calor seja transferido apenas por radiação. (Suponha que a esfera seja um emissor de corpo negro.)

Passo 1

Bom, a questão nos pede a taxa inicial de mudança de temperatura, que pode ser escrita através da equação da potência:

P = d Q d t

Mas d Q pode ser escrito em termos do diferencial de temperatura d T pela equação do calor sensível:

d Q = m c d T

E a potência será:

P = m c d T d t

Passo 2

E pela lei de Stefan-Boltzmann, podemos calcular a potência em termos da área da esfera, da sua emissividade e da diferença de temperatura entre a esfera e o ambiente onde ela está:

P = e σ A ( T 4 - T 0 4 )

Agora substituímos o P na equação e ficamos com:

m c d T d t = e σ A ( T 4 - T 0 4 )

Isolando d T / d t que é a taxa de temperatura:

d T d t = e σ A ( T 4 - T 0 4 ) m c

Passo 3

Como não conhecemos a massa da esfera, vamos escrevê-la em termos da densidade do cobre e do volume:

m = ρ V

Onde V = 4 3 π r 3

Ficamos com:

d T d t = e σ A ( T 4 - T 0 4 ) ρ V c

Como a esfera se comporta como um corpo negro e = 1 , e a área da esfera é A = 4 π r 2 .

Dessa forma, temos todas as informações que precisamos para calcularmos a taxa:

d T d t = ( 1 ) 5.6703 × 10 - 8 W m 2 . K 4 4 π 4.0 c m 2 ( T 4 - T 0 4 ) ( 4.0 × 10 - 2 m ) 4 3 π 4.0 c m 3 ( 8.93 × 10 3 k g / m 3 )

d T d t = 2.2 × 10 - 3 K / s

Resposta

d T d t = 2.2 × 10 - 3 K / s

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