Enunciado

A substância de trabalho de uma máquina térmica é 1,00 mol de um gás monoatômico ideal. O ciclo inicia a P 1 = 1,00   a t m e V 1 = 24,6 L . O gás é aquecido a volume constante até P 2 = 2,00   a t m . Depois, ele se expande, à pressão constante, até 49,2 L . O gás é, então, resfriado a volume constante até sua pressão atingir, novamente, 1,00   a t m . Ele é, depois, comprimida à pressão constante até seu estado original. Todas as etapas são quase-estáticas e reversíveis. (a) Mostre este ciclo em um diagrama P V . Para cada etapa do ciclo, determine o trabalho realizado pelo gás, o calor absorvido pelo gás e a variação da energia interna do gás. (b) Determine o rendimento do ciclo.

Passo 1

a) Para fazer o gráfico P × V , precisamos organizar e interpretar os dados que ele deu sobre esse ciclo. Vamos ver em que pontos V , P está cada mudança de processo do ciclo e como cada processo é representado no diagrama.

O eixo horizontal do diagrama representa o volume e o vertical representa a pressão.

No ponto 1 temos

P 1 = 1   a t m

V 1 = 24,6   L

Em 1-2, o gás é aquecido a volume constante. Se ele é aquecido, mas o volume dele não muda, as moléculas dele tendem a ficar mais agitadas que antes, então a pressão aumenta.

Assim, nesse intervalo, nosso diagrama vai ser uma reta vertical no sentido de cima para baixo, representando que o volume permanece o mesmo, mas a pressão aumenta.

No ponto 2 temos

P 2 = 2   a t m

E como o volume em 1-2 permaneceu constante,

V 2 = V 1 = 24,6   L

Em 2-3 temos uma expansão à pressão constante. Nesse intervalo teremos uma reta horizontal, orientada da esquerda para a direita, representando que a pressão permanece a mesma, mas o volume aumenta.

A pressão é constante, então temos

P 2 = P 3 = 2   a t m

E o volume aumentou até V 3 = 49,2 L

Em 3-4, o gás é resfriado a volume constante até sua pressão atingir P 4 = 1,00   a t m . Como o volume é constante, temos

V 3 = V 4 = 49,2 L

E o gráfico fica como uma reta vertical com sentido de cima para baixo porque ao resfriar, a pressão diminuiu.

E por fim, a gente volta ao ponto 1 por meio de uma compressão a pressão constante, então aqui teremos uma reta horizontal com sentido da esquerda para a direita.

O nosso diagrama fica assim:

Passo 2

Aí ele pede para cada etapa do ciclo, o trabalho realizado pelo gás, o calor absorvido pelo gás e a variação da energia interna do gás

Pra poder calcular essas coisas todas, a gente vai ter que achar a temperatura de cada um dos estados! Mas como a gente tem P e V para todos os estados e sabemos que n = 1   m o l , podemos fazer isso pela equação de Clapeyron:

P V = n R T → T = P V n R

Para 1:

T 1 = P 1 V 1 n R = 1.00   a t m 24.6 L 1.00   m o l 0.082   a t m ⋅ L m o l ⋅ K

T 1 = 300 K

Para 2:

T 2 = P 2 V 2 n R = 2.00   a t m 24.6 L 1.00   m o l 0.082   a t m ⋅ L m o l ⋅ K

T 2 = 600   K

Para 3:

T 3 = P 3 V 3 n R = 2.00   a t m 49,2 L 1.00   m o l 0.082   a t m ⋅ L m o l ⋅ K

T 3 = 1200   K

Para 4:

T 4 = P 4 V 4 n R = 1.00   a t m 49,2 L 1.00   m o l 0.082   a t m ⋅ L m o l ⋅ K

T 4 = 600   K

Obs: percebe que aqui a gente usou o valor de R que usa a t m e L porque essas eram as unidades da nossa pressão e do volume.

Passo 3

Do estado 1 pro estado 2 , a transformação é isovolumétrica (o volume não muda), então o trabalho é nulo e ficamos com

W 12 = 0

Como o volume é constante podemos usar essa fórmula da capacidade térmica:

C V = Q V Δ T → Q V = C V Δ T

Sendo que para um gás monoatômico

C V = 3 2 n R

Subsituindo ali em cima

Q V = 3 2 n R Δ T

Então o calor do processo 1-2 é:

Q 12 = Q V = 3 2 n R Δ T 12

Q 12 = 1 3 2 R 600 - 300 = 3 2 8.314 300

Q 12 = 3.74 k J

Aqui usamos o valor de R que usa as unidades m 3 e P a , porque queremos os resutado final em joules.

E aí pela primeira lei da termodinâmica:

Δ U = Q + W

Δ U 12 = 3.74 k J + 0

Δ U 12 = 3.74 k J

Passo 4

Do estado 2 pro estado 3 , a transformação é isobárica. Aí o trabalho é dados por

W 23 = P Δ V 23

W 23 = 2.00   a t m   × 101325   P a 1   a t m 49.2 L × 10 - 3 m 3 1   L - 24.6 L × 10 - 3 m 3 1   L

W 23 = 4.99 k J

Aqui a gente passou o volume para litros e a pressão para P a para que o resutado fique em joules.

W 23 = 4.99 k J é o trabalho que o gás realiza (trablho feito pelo gás), então o trabalho feito sobre o gás é W = - 4.99 k J . Aí para achar o calor vamos usar a fórmula da capacidade térmica para pressão constante:

C P = Q P Δ T → Q P = C P Δ T

Sendo que para um gás ideal monoatômico

C p - C V = n R → C p = n R + C V

C V = 3 2 n R

Substituindo essa expressão na expressão logo acima:

C p = n R + 3 2 n R = 5 2 n R

E susbtituindo na expressão do calor

Q p = C P Δ T

Q p = 5 2 n R ∆ T

Então o calor no processo 2-3 é dado por

Q 23 = Q p = 5 2 n R Δ T 23

Q 23 = 1 5 2 R 1200 - 600 = 5 2 8.314 600

Q 23 = 12.5 k J

Aqui usamos o valor de R que usa as unidades m 3 e P a , porque queremos os resutado final em joules.

E pela primeira lei da termodinâmica:

Δ U = Q + W

Δ U 23 = 12.5 k J + - 4.99

Δ U 23 = 7.5 k J

Lembra que essa lei usa o trabalho realizado sobre o gás, por isso mudamos o sinal do trabalho encontrado antes.

Passo 5

Do estado 3 pro estado 4 , a transformação é isovolumétrica, então sem variação de volume, podemos dizer que

W 34 = 0

Como o volume é constante, podemos usar novamente

Q V = 3 2 n R Δ T

Achamos essa expressão lá no passo 3. Então o calor para o processo 3-4 fica:

Q 34 = Q V = 3 2 n R Δ T 34

Q 34 = 1 3 2 R 600 - 1200 = 3 2 8.314 - 600

Q 34 = - 7.48 k J

Aqui usamos o valor de R que usa as unidades m 3 e P a , porque queremos os resutado final em joules.

E pela primeira lei da termodinâmica:

Δ U = Q + W

Δ U 34 = - 7.48 k J + 0

Δ U 34 = - 7.48 k J

Passo 6

Do estado 4 pro estado 1 , a transformação é isobárica. Aí podemos usar

W 41 = P Δ V 41

W 41 = 1.00   a t m 24.6 L - 49.2 L 101.325 J a t m ⋅ L = - 2.49 k J

Aqui a gente passou o volume para litros e a pressão para P a para que o resutado fique em joules.

Esse é o trabalho que o gás realiza, então o trabalho feito sobre o gás é W = + 2.49 k J . Agora o calor, podemos usar a fórmula que usamos no passo 4

Q p = 5 2 n R ∆ T

Q 41 = Q p = 5 2 n R Δ T 41

Q 41 = 1 5 2 R 300 - 600 = 5 2 8.314 - 300

Q 41 = - 6.24 k J

E pela primeira lei da termodinâmica:

Δ U = Q + W

Δ U 41 = - 6.24 k J + 2.49 k J

Δ U 41 = - 3.75 k J

Passo 7

b) O rendimento é igual ao trabalho total (soma do trabalho em todos os processos) dividido pelo calor do reservatório quente. O calor do reservatório quente é o calor que entra no nosso sistema, então vai ser os valores que de calor que são positivos Q 12 e Q 23 :

η = W 12 + W 23 + W 34 + W 41 Q 12 + Q 23

η = 4.99 - 2.49 3.74 + 12.5

η = 15 %

Resposta

a)

b) η = 15 %

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