Enunciado

A figura mostra um disco uniforme que tem um raio R = 0,80   m , uma massa de 6,0   k g , e um pequno buraco a uma distância d do centro de disco que pode servir como ponto de suspensão. (a) Qual deve ser a distância d para que o período desse pêndulo físico seja 2,50   s ? (b) Qual deve ser a distância d para que este pêndulo físico tenha o menor período possível? Quanto vale este menor período possível?

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para o período de um pêndulo físico:

T = 2 π   I m g d

Para encontrar o momento de inércia em relação ao buraco representado na figura, temos que usar o teorema dos eixos paralelos:

I = I C M + m d 2

E vamos substituir com a expressão para I C M no caso de um disco:

I = 1 2 m R 2 + m d 2

Passo 2

(a) Agora vamos substituir isso na fórmula, e calcular o valor de d para o qual T = 2,50   s :

T = 2 π   1 2 m R 2 + m d 2 m g d

Vamos dividir por m / 2 no numerador e no denominador da fração, e elevar os dois lados ao quadrado:

T 2 = 2 π 2   R 2 + 2 d 2 2 g d

Agora vamos transformar isso em uma equação do segundo grau para d :

- 2 d 2 + d g T 2 2 π 2 - R 2 = 0

E podemos substituir os valores numéricos para resolver a equação:

- 2 d 2 + d 9,81 2,5 2 2 π 2 - 0,80 2 = 0

- 2 d 2 + 3,1   d - 0,64 = 0

Então:

d = - 3,1 ± 3,1 2 - ( 4 ) ( - 2 ) ( - 0,64 ) ( 2 ) ( - 2 )

E as duas soluções são:

d 1 = 0,245   m

d 2 = 1,31   m

A solução d 2 é maior que o raio do disco, então não faz sentido para nós nesse caso, portanto:

d = d 1 ≅ 24   c m

Passo 3

(b) Agora vamos encontrar o valor de d que minimiza o período. Em outras palavras, queremos o valor de d que satisfaz essa equação:

d d d T ( d ) = 0

Lembrando que a equação para o período em função de d era:

T = 2 π   R 2 + 2 d 2 2 g d

A derivada em relação a d é (temos que usar a regra da cadeia e a regra do quociente):

T ' = 2 π g 1 2 1 R 2 + 2 d 2 2 d 4 d 2 - 2 R 2 4 d 2

Quando igualamos isso a zero (sabendo que d ≠ 0 ), essa expressão fica bem mais simples:

2 π g 1 2 1 R 2 + 2 d 2 2 d 4 d 2 - 2 R 2 4 d 2 = 0

4 d 2 - 2 R 2 = 0

d = R 2 = 0,80 2 ≅ 57   c m

Passo 4

Agora vamos calcular o período nesse ponto de mínimo. Temos que substituir d = R / 2 na nossa fórmula:

T = 2 π   R 2 + 2 R 2 2 2 g R 2

E agora substituímos os valores numéricos:

T = 2 π   2 ( 0,80 2 ) 2 9,81 0,80 2

T ≅ 2,1   s

Resposta

(a) A distância deve ser d = 24   c m .

(b) O período é mínimo quando d = 57   c m , e nesse caso o período é T = 2,1   s .

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