Enunciado

Uma esfera homogênea, de raio R e massa M, é mantida em repouso, por um cordão horizontal, sobre um plano inclinado de um ângulo θ , como mostrado na Figura 12-61. Seja R = 20   c m , M = 3,0   k g e θ = 30 ° .

  1. Qual é a tração no cordão?
  2. Qual é a força normal exercida sobre a esfera pelo plano inclinado?
  3. Qual é a força de atrito atuando sobre a esfera?

Passo 1

Bom, pelo que o problema nos disse a bola está em equilíbrio no plano inclinado. Então, as duas condições são satisfeitas:

∑ F → = 0     e   ∑ τ → = 0

Vamos ilustrar as forças que atuantes sobre a bola:

No centro de gravidade, ou seja, no ponto central da bola de aço, temos a força gravitacional F → g sendo aplicada para baixo formando um ângulo θ   com o eixo y (chegamos nesse resultado por causa da trigonometria, ok?!). Dada por:

F → g . b = m b o l a . g

Como nós temos duas superfícies em contato, existe a força normal F → N , perpendicular ao plano inclinado, e a força de atrito. O cabo suportando a bola também gera uma força de tração (T), formando um ângulo θ com o eixo x.

Muito bem, já sabemos as forças que atuam no corpo agora precisamos trabalhar com as nossas condições.

Passo 2

Vamos começar usando o torque! Que é calculado como:

∑ τ → = ∑ ( r → . F → )

Onde r é a distância entre a força e o eixo de rotação. A escolha do eixo será muito importante, e aqui vamos escolher o ponto central da bola, passando sobre a força normal. Quando fazemos isso a distância para a força normal e peso se igualam a 0. A distância até as demais forças é r = R .

Colocando no torque:

R . f - R T = 0

f = T

Então galera, usando as segunda condição do equilíbrio já conseguimos achar a uma relação entre as forças, mas não é suficiente para resolvermos o problema.

Passo 3

Como ainda não temos informação suficiente, vamos precisar de mais uma relação, podemos usar para isso a primeira condição.

Se ∑ F → = 0 , então ∑ F x → = 0   e   ∑ F y → = 0 .

Na direção x, nós temos três forças atuando: a força de atrito ( f ), a componente x da força peso ( M g s e n   θ ) e da tração ( T . cos ⁡ θ ):

∑ F x → = f + T . cos ⁡ θ - M g s e n   θ = 0

Lembrando da igualdade do passo 1:

T + T . cos ⁡ θ = M g s e n   θ

Isolando T:

T = M g s e n   θ 1 + cos ⁡ θ

Já sabemos que:

s e n   30 ° = 1 2

cos ⁡ 30 ° = 3 2

M = 3   k g

g = 9,81   m / s ²

T = 3   k g . 9,81   m / s ² . 1 2 1 + 3 2 = 7,89   N

Se

f = T = 7,89   N

Passo 4

Já sabemos a resposta para as letras a e c, agora falta acharmos a força normal. Vamos usar a única informação que não usamos, ∑ F y → = 0 .

Na direção y, nós temos três forças atuando: a força normal, a componente y da força peso ( M g . c o s   θ ) e da tração ( T . s en ⁡ θ ):

∑ F y → = F N - T . s en ⁡ θ - M g . c o s   θ = 0

F N = T . sen ⁡ θ + M g . c o s   θ

Substituímos os dados:

F N = 7,89   N . 1 2 + 3   k g . 9,81   m / s ² . 3 2 = 29   N

Resposta

  1. T = 7,89   N ;
  2. F N = 29   N ;
  3. f = 7,89   N .
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