Enunciado

Um caixote, na forma de um cubo com 1,2   m de lado contém uma peça de máquina; o centro de massa do caixote e do conteúdo está localizado 0,30   m acima do centro geométrico do caixote. O caixote repousa em uma rampa que faz um ângulo θ com a horizontal. Quando θ aumenta a partir de zero, um valor de ângulo é atingido para o qual o caixote tomba ou desliza pela rampa. Se o coeficiente de atrito estático μ entre a rampa e o caixote é 0,60 , (a) o caixote tomba ou desliza? (b) Para que ângulo θ isso acontece? Se μ = 0,70 , (c) o caixote tomba ou desliza? (d) Para que ângulo   θ isso acontece? (Sugestão: qual é o ponto de aplicação da força normal quando o caixote está prestes a tombar?)

Passo 1

(a)Show de bolinhas pessoal, pra ficar mais fácil pra gente, vamos desenhar a situação ilustrada no problema para ajudar no nosso raciocínio. Primeiro vamos focar no momento em que o caixote está prestes a tombar. Quando isso acontece, a força normal estará sendo aplicada sobre a aresta inferior que servirá de eixo de rotação, assim como indicamos na figura.

Onde F a t é força de atrito relacionada a força normal N .

Passo 2

Iradoso, vamos agora analisar o que deve acontecer para que o caixote não deslize. Para isso, devemos ter um equilíbrio de forças na direção da superfície da rampa. Quando isso não acontece, ele passa a deslizar com uma força resultante na direção de m g sen ⁡ θ . Nesse caso, a gente tem:

m g sen ⁡ θ - F a t > 0

m g sen ⁡ θ > μ N

Além disso, como o bloco está em equilíbrio na direção normal à rampa, temos:

m g cos ⁡ θ = N

Substituindo esse valor na equação m g sen ⁡ θ > μ N , obtemos

μ < t a n ⁡ ( θ )

Então:

0,60 < tan ⁡ θ

θ > arctan ⁡ 0,60

θ > 31 °

Ou seja, a partir do ângulo θ = 31 ° o bloco passa a deslizar ao longo da rampa.

Passo 3

Agora, vamos analisar o equilíbrio de torques com relação ao centro de massa (onde é aplicada a força peso m g ). Esse equilíbrio deve ocorrer para que o caixote não tombe. Caso o plano seja gradualmente inclinado para cima e θ vá aumentando, vai chegar um momento em que o bloco tenda a girar (tombar) para a direita, quando o somatório dos torques passa a ser positivo. A equação que representa isso é a seguinte:

F a t × 0,6   m + 0,3   m - N × 0,6   m > 0

No caso em que o bloco tomba sem deslizar, a resultante das forças na direção da rampa é zero, assim como na direção normal à sua superfícir. Então: F a t = m g × sen ⁡ θ e N = m g cos ⁡ θ . Nesse caso:

m g × sen ⁡ θ × 0,6   m + 0,3   m - m g cos ⁡ θ × 0,6   m > 0

tan ⁡ θ > 0,66

Então, como arctan ⁡ 0,66 ≅ 3 4 ° , temos que a partir desse ângulo o bloco tomba sem deslizar. Como esse ângulo é maior do que o encontrado anteriormente ( 31 ° ), podemos concluir que o caixote desliza antes de querer tombar.

Passo 4

(b)Como vimos no passo 2, o bloco só passa a deslizar para ângulos maiores que 31 ° .

Passo 5

(c)Aqui, vamos substituir μ = 0,70 na expressão encontrada no passo 2. Assim, temos que o caixote começa a deslizar a partir de

θ = arctan ⁡ μ

θ = arctan ⁡ 0,70

θ = 35 ° .

Além disso, como vimos no passo 3, o caixote começa a tombar quando tan ⁡ θ > 0,66 , ou seja, θ > 3 4 ° . Isso quer dizer que nesse caso ele tomba antes de deslizar.

Resposta

(a)Desliza antes de tombar

(b)Começa a deslizar para θ = 31 °

(c)Tomba antes de deslizar

(d) θ = 3 4 °

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