Enunciado

Uma caixa cúbica está cheia de areia e pesa 892   N . Deseja-se "rodar" a caixa, empurrando horizontalmente uma de suas arestas superiores. (a) Qual é a força mínima necessária? (b) Qual é o coeficiente de atrito estático mínimo necessário.(c)Se existe um modo mais eficiente de fazer a caixa rolar, determine a menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que isso aconteça.

Passo 1

Primeiro, vamos imaginar o que acontece no problema: suponhamos que estamos aplicando uma força crescente sobre a borda superior do cubo. Conforme aumentamos ela, a força normal exercida pelo solo sobre ele também aumenta e, na iminência de ele girar, essa força está sendo exercida sobre o vértice inferior mais afastado, assim como mostra a figura:

Belezinha, agora que a gente sabe como as forças estão atuando, vamos ver como fica o resto da brincadeira.

Passo 2

Considerando o equilíbrio de torques com relação ao eixo onde são aplicadas N e f a t (força de atrito estático), de forma que estas se anulem, obtemos um equilíbrio dado como:

P × L 2 - F × L = 0

Então:

F L = P L 2

F = P 2

Logo:

F = 890 N 2 = 445   N

Passo 3

(b)Do equilíbrio na horizontal, vem:

F = f a t = μ × N = μ × P

Então:

μ = F P

μ = 445 N 890 N

μ = 0,5

Passo 4

(c)Essa é uma boa pergunta . Para respondê-la, vamos considerar um caso geral, de uma força aplicada formando um ângulo θ com a horizontal já que podemos rolar o corpo com uma força aplicada menor nesse caso.

Assim, a equação de equilíbrio de torques passa a ser essa:

F L c o s θ + F L s e n θ - P L 2 = 0

Então, temos que:

F = P 2 cos ⁡ θ + 2 s e n θ

Para conseguirmos tombar o cubo com a menor F possível, temos que minimizar o denominador dessa fração! Como faremos isso?

Passo 5

Aqui, vamos lembrar que s e n θ + cos ⁡ θ = c o s π 2 - θ + cos ⁡ θ = 2 c o s π 4 cos ⁡ π 4 - θ . Isso se maximiza quando cos ⁡ π 4 - θ = 1 , ou seja, θ = π 4 . Então, a força mínima F acima é dada por:

F = P 4 cos ⁡ π 4

F = P 4 2 2

F = P 2 2

Portanto:

F = 31 5   N

Então, a resposta para essa pergunta é: Sim, existe um modo mais eficiente para se rolar o cubo, sem precisar aplicar uma força maior que 315   N .

Resposta

(a)   445 N

(b)   0,5

(c) 315   N

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