Enunciado

Uma esfera maciça e unifome de massa M e raio R está livre para girar em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro. Um cortão está enrolado em torno da esfera e preso a um objeto de massa m (figura 9-58). Suponha que o cordão não deslize na esfera. Determine (a) a aceleração do objeto e (b) a tensão no cordão.

Passo 1

a) Oláaa, querido! Cê tá bem?

Então, a gente tem um objeto preso a uma esfera por uma corda. A esfera está pressa pelo seu centro por um eixo. O peso desse objeto faz com que a esfera gire, ou seja, que ela tenha uma aceleração angular.

Ele pede a aceleração do objeto. Cara, como ele pede aceleração e temos várias forças envolvidas é uma boa a gente usar a segunda lei de Newton, ok?

E falou de usar a segunda lei de Newton, a gente pensa logo em fazer os diagramas de corpo livre da esfera e do objeto. Ficam assim:

Percebe que x está no sentido da aceleração. Bora lá usar a segunda lei de Newton!

Passo 2

Percebe que a tensão na esfera é a única força nela que não passa pelo seu centro, então ela é a única responsável por fazer a esfera girar, já que ela vai causar um torque na esfera.

E se a esfera está girando, a gente pode usar a segunda lei de Newton para rotação nela. Ela tem essa carinha:

∑ τ = I α

A única força gerando o torque é a tensão T . Ela é perpendicular ao raio da esfera, então o torque gerado vai ser τ = T × R , aí nossa lei de Newton fica:

T R = I α

E I é o momento de inércia da esfera com relação a um eixo que passa pelo seu centro. Ele tem essa fórmulinha:

I = 2 5 M R 2

Substituindo:

T R = 2 5 M R 2 α

Lembra como relacionamos aceleração angular α e tangencial a ? Assim oh:

a = α R → α = a R

Substituindo na nossa equação:

T R = 2 5 M R 2 a R

T R = 2 5 M R 2 a R

T = 2 M a 5

Mas a gente não sabe quem é T e nem quem é a , então precisamos de mais uma equação.

Passo 3

Bora fazer a segunda lei de Newton mais comum para o objeto:

∑ F x = m a x

F g m - T = m a

m g - T = m a

Podemos substituir aqui a expressão para T que achamos no passo anterior T = 2 M a 5 :

m g - 2 M a 5 = m a

Agora é isolar a :

a = g 1 + 2 M 5 m

Passo 4

b) Queremos a tensão T agora. Temos que

T = 2 M a 5

Mas a gente acabou de achar a , então podemos substituir aí:

T = 2 M 5 g 1 + 2 M 5 m

Rearrumando

T = 2 M 5 g 5 m + 2 M 5 m

T = 2 m M g 5 m + 2 M

Resposta

  1. a = g 1 + 2 M 5 m
  2. T = 2 m M g 5 m + 2 M
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