Enunciado

Um cilindro uniforme de massa m 1 e raio R gira sobre suportes sem atrito. Um fio sem massa, enrolado em torno do cilindro, está ligado a um bloco de massa m 2 , que está sobre um plano inclinado de θ , sem atrito, como mostrado na figura. O sistema é largado do repouso quando o bloco está a uma distância vertical h da base do plano inclinado. (a) Qual é a aceleração do bloco? (b) Qual é a tensão no fio? (c) Qual é a rapidez do bloco quando ele chega à base do plano inclinado? (d) Determine suas respostas para o caso especial em que θ = 90 ° e m 1 = 0 . Suas respostas são o que você esperaria neste caso especial? Explique.

Passo 1

a) Oláaa, querido! Cê tá bem?

Então, a gente tem um objeto preso a um cilindro por uma corda. Quando o objeto é largado do repouso, esse movimento desse objeto faz com que o cilindro gire, ou seja, que ela tenha uma aceleração angular.

Ele pede a aceleração do objeto. Cara, como ele pede aceleração e temos várias forças envolvidas é uma boa a gente usar a segunda lei de Newton, ok?

E falou de usar a segunda lei de Newton, a gente pensa logo em fazer os diagramas de corpo livre da esfera e do objeto. Ficam assim:

Essa F tá um pouco inclinada porque a força que o suporte faz para segurar o cilindro, tá? E a gente colocou os sentidos positivos como sendo no sentido da aceleração.

Agora vamos achar a !

Passo 2

Percebe que a tensão no cilindro é a única força nele que não passa pelo seu centro, então ela é a única responsável por fazer o cilindro girar, já que ela vai causar um torque no cilindro.

E se o cilindro está girando, a gente pode usar a segunda lei de Newton para rotação nele. Ela tem essa carinha:

∑ τ = I α

A única força gerando o torque é a tensão T . Ela é perpendicular ao raio do cilindro, então o torque gerado vai ser τ = T × R , aí nossa lei de Newton fica:

T R = I α

E I é o momento de inércia do cilindro com relação a um eixo que passa pelo seu centro. Ele tem essa fórmulinha:

I = 1 2 m 1 R 2

Substituindo:

T R = 1 2 m 1 R 2 α

Lembra como relacionamos aceleração angular α e tangencial a ? Assim oh:

a = α R → α = a R

Substituindo na nossa equação:

T R = 1 2 m 1 R 2 a R

T R = m 1 R a 2

T = m 1 a 2

Mas a gente não sabe quem é T e nem quem é a , então precisamos de mais uma equação.

Passo 3

Bora fazer a segunda lei de Newton mais comum para o bloco. Para a direção x :

∑ F x = m a x

F g x - T = m a

A componente de F g no eixo x é F g x = F g   s e n   θ = m 2 g   s e n   θ :

m 2 g   s e n   θ - T = m a

Podemos substituir aqui a expressão para T que achamos no passo anterior T = m 1 a 2 :

m 2 g s e n θ - m 2 a = m 1 a 2

Agora é isolar a :

a m 1 2 + m 2 = m 2 g s e n θ

a = g s e n θ 1 + m 1 2 m 2

Passo 4

b) Queremos a tensão T agora. Temos que

T = m 1 a 2

Mas a gente acabou de achar a , então podemos substituir aí:

T = m 1 g s e n θ 2 1 + m 1 2 m 2

Passo 5

c) Queremos a rapidez do bloco no fim da rampa. Ele diz a altura do bloco na posição incial. Isso é a dica master para gente usar conservação de energia.

E f = E i

Inicialmente, o bloco tinha apenas energia potencial gravitacional. Não havia energia cinética porque ele e o cilindro estavam paradinhos. Então temos:

E i = U g 2 = m 2 g h

(o cilindro não varia sua altura durante o movimento, então a gente não vai pensar na energia potencial gravitacional dele)

Depois que começa a descer, o bloco adquire energia cinética, e o cilindro energia cinética rotacional.

E f = K 2 + K r o t 1

Substituindo a expressão de cada uma dessas energias:

E f = m 2 v 2 2 + I ω 2 2

Passo 6

Aí a conservação fica:

E f = E i

m 2 v 2 2 + I ω 2 2 = m 2 g h

Mas lembra que I é o momento de inércia do cilindro e vale I = 1 2 m 1 R . E a gente pode escrever a rapidez angular ω usando essa expressão:

v = R ω → ω = v R

Percebe que v é o mesmo v do bloco, porque essa é a velocidade que o movimento do bloco gera na borda do cilindro. Substituindo as nossas expressões de ω e I na conservação:

m 2 v 2 2 + 1 2 1 2 m 1 R 2 v R 2 = m 2 g h

Isolando v 2 :

m 2 v 2 2 + 1 4 m 1 v 2 = m 2 g h

2 m 2 v 2 + m 1 v 2 = 4 m 2 g h

v 2 = 4 m 2 g h 2 m 2 + m 1

Dividindo em cima e embaixo por 2 m 2 :

v 2 = 2 g h 1 + m 1 2 m 2

v = 2 g h 1 + m 1 2 m 2

Passo 7

d) Para o caso em que θ = 90 ° e m 1 = 0 :

a = g s e n θ 1 + m 1 2 m 2

a = g s e n 90 ° = g

A tensão fica

T = m 1 g s e n θ 2 1 + m 1 2 m 2

T = 0

E a rapidez

v = 2 g h 1 + m 1 2 m 2

v = 2 g h

Realmente, esse é o caso equivalente a não ter polia ( m 1 , a massa zerada, é a massa da polia). Como o ângulo é 90 ° , o bloco cairia verticalmente com aceleração g , sem interferência da tensão. Aí a conservação de energia seria:

E i = E f → m g h = m v 2 2 → v = 2 g h

Como encontramos! Então nossos resultados fazem sentido.

Resposta

  1. a = g s e n θ 1 + m 1 2 m 2
  2. T = m 1 g s e n θ 2 1 + m 1 2 m 2
  3. v = 2 g h 1 + m 1 2 m 2
  4. a = g , T = 0 , v = 2 g h
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