Enunciado

Uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica κ , de raio a , está uniformemente carregada com densidade linear volumétrica de carga ρ .

  1. Calcule o vetor campo elétrico E → dentro e fora da esfera.
  2. Ache a diferença de potencial V entre o centro e a superfície da esfera.

Passo 1

Vamos calcular o campo elétrico dentro via lei de Gauss. Para isso vamos traçar uma superfície gaussiana de raio r . Se liga na figura.

Pela lei de Gauss temos

∮ E →     .     d A → = q i n t ϵ 0

Como temos um dielétrico o campo fica

E = q i n t κ ϵ 0 A

Passo 2

Precisamos definir quem é q i n t e A .

Como estamos dentro da esfera, a carga a ser considerada é situada dentro da superfície gaussiana

q i n t = ρ 4 3 π r 3

A = 4 π r 2

Substituindo podemos escrever o campo

E = ρ 4 3 π r 3 k ϵ 0 4 π r 2 = ρ r 3 k ϵ 0

O campo aponta para fora na direção radial, portanto

E → = ρ r 3 k ϵ 0   r ^

Passo 3

Agora precisamos achar o campo fora, ou seja, r > a . Vamos traçar uma gaussiana fora da esfera

Agora temos

q i n t = ρ 4 3 π a 3

Mas a área é novamente a da superfície gaussiana. Aplicando a lei de Gauss novamente, temos

E = ρ 4 3 π a 3 κ ϵ 0 4 π r 2 = ρ a 3 3 κ ϵ 0 r 2

Novamente o campo está saindo na direção radial

E → = ρ a 3 3 κ ϵ 0 r 2   r ^

Passo 4

No item (b) ele pede a diferença de potencial entre o centro e a superfície. Precisamos lembrar que

V = - ∫   E →     .   d   l →

Usando o campo dentro

V = - ∫ a 0   ρ r 3 k ϵ 0 = ρ a 2 6 κ ϵ 0

Resposta

a )         E → = ρ r 3 k ϵ 0   r ^     ( D e n t r o )

a )       E → = ρ a 3 3 κ ϵ 0 r 2   r ^       ( F o r a )          

b )                   V = ρ a 2 6 κ ϵ 0

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