Enunciado

Uma esfera metálica com raio r a está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo r b . Existe uma carga +q na esfera interna e uma carga -q na esfera externa.

a)Determine o potencial V(r) para as regiões (i) r < r a ; (ii) r a < r < r b ; (iii) r > r b . (Sugestão: O potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere V igual a zero para r infinito.

b)Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por

V a b = q 4 π ε o 1 r a - 1 r b

c)Use a equação E = - ∂ V ∂ r e o resultado do item (a) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por

E ( r ) = V a b 1 r r - 1 r b 1 r 2

d)Aplique a equação E = - ∂ V ∂ r e o resultado do item (a) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro, sendo r > r b .

e)Suponha que a carga na esfera externa não seja -q, mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos -Q. Mostre que as respostas dos itens (b) e (c) não se alteram, porém a resposta do item (d) torna-se diferente.

Passo 1

letra a)

O potencial é fora da esfera dado pela expressão:

V = k Q r

Já o potencial dentro da esfera é dado por:

V = k Q R

Passo 2

(i) r < r a

Para r < r a , estamos pegando um ponto dentro das duas esferas:

V = k ( + q ) r a + k ( - q ) r b

V = k q 1 r a - 1 r b

Passo 3

(ii) r a < r < r b

Para r a < r < r b , estamos fora da esfera da esfera interna e dentro da esfera externa:

V = k ( + q ) r + k ( - q ) r b

V = k q 1 r - 1 r b

Passo 4

(iii) r > r b

Para   r > r b , estamos fora das duas esferas :

V = k ( + q ) r + k ( - q ) r

V = 0

Passo 5

letra b)

Agora ele pede para mostrar a relação

V a b = V a - V b

No item (a) calculamos V a :

V a = k q 1 r a - 1 r b

Além disso sabemos que o potencial na superfície é zero (também calculamos no item (a))

V b = 0

Temos então:

V a - V b = k q 1 r a - 1 r b - 0

V a b = k q 1 r a - 1 r b

Que é a relação que tínhamos que mostrar.

Passo 6

letra c)

Precisamos calcular agora o campo elétrico em pontos entre as duas esferas a partir da relação E = - ∂ V ∂ r

Entre as duas esferas os potencial é

V = k q 1 r - 1 r b

Então:

E = - ∂ ∂ r k q 1 r - 1 r b = - k q ∂ ∂ r 1 r - 1 r b

E = - k q ∂ ∂ r 1 r - ∂ ∂ r 1 r b

E = - k q - 1 r 2 - 0

E = k q r 2

Passo 7

Mas não acabamos!!!

Para chegarmos na relação que ele quer vamos multiplicar e dividir por 1 r a - 1 r b :

E = k q r 2 ⋅ 1 r a - 1 r b 1 r a - 1 r b

E = V a b 1 r a - 1 r b ⋅ 1 r 2

Agora sim!!!

Passo 8

letra d)

Agora precisamos calcular o campo elétrico para pontos fora da esfera r > r b

Vamos usar a mesma relação do item anterior:

E = - ∂ V ∂ r

Mas V = 0 para r > r b

Então:

E = 0

Passo 9

letra e)

Se carga passar a ser -Q, o potencial da esfera interna não irá se alterar mas o da esfera externa não será mais 0, e sim:

V = - k Q r b

Então o potencial entre as esferas será :

V = k q r a - Q r b

Potenciais relativos às duas esferas não serão afetados porque terão uma pequena variação. Por isso o item (b) e (c) não irão se alterar.

Mas… o potencial fora da esfera deixará de ser zero:

V = k ( q - Q ) r

Então o campo fora da esfera será:

E = - ∂ ∂ r k ( q - Q ) r = - k ( q - Q ) ∂ ∂ r 1 r

E = k ( q - Q ) r 2

Resposta

letra a) (i) r < r a V = k q 1 r a - 1 r b ; (ii) r a < r < r b V = k q 1 r - 1 r b ; (iii) r > r b V = 0

letra d) E = 0

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