Enunciado

Uma esfera oca, com 0,15 m de raio e momento de inércia I = 0,040 k g m ² em relação a uma reta que passa pelo centro de massa , rola sem deslizar, subindo uma superfície com uma inclinação de 30 ° em relação à horizontal. Em uma certa posição inicial, a energia cinética total da esfera é 20 J .

( a ) Quanto dessa energia cinética se deve à rotação?

( b ) Qual é a velocidade do centro de massa da esfera na posição inicial?

Após a esfera ter se deslocado 1 m ao longo da superfície inclinada a partir da posção inicial, qual é

( c ) a energia cinética total?

( d ) a velocidade do centro de massa?

Passo 1

Fala aiii galerinha bonita, tranquileba? Vamos praticar um pouco de mecânica rotacional? Partiu!!

Pra gente calcular quanto da energia cinética inicial se deve à rotação vamos fazer uma comparação. E comparar coisas no mundo matemático, é fazer uma razão entre elas.

Mas calma lá chefia, saca só, primeiro vamos calcular a energia cinética de rotação, dada como:

K r o t = I ω 2 2

Logo, como ω = v c m / r e o momento de inércia de uma esfera oca de raio r é I = 2 3 m r 2 , temos que:

K r o t = 1 2 × 2 3 m r 2 v c m r 2

K r o t = 1 3 m v c m 2

Já a energia cinética total será:

K t o t a l = K t r a n s l a ç ã o + K r o t

K t o t a l = 1 2 m v c m 2 + 1 3 m v c m 2

K t o t a l = 5 6 m v c m 2

Agora vamos fazer razão entre elas, dividindo uma pela outra, tal que:

K r o t K t o t a l = 1 3 m v c m 2 5 6 m v c m 2

K r o t K t o t a l = 1 3 . 6 5 = 2 5

K r o t K t o t a l = 0,4

Ou seja, a energina cinética rotacional equivale a 40 % da energia cinética total!!

Passo 2

Agora que temos a energia cinética total em função apenas da velocidade do centro de massa (dá uma espiada na K t o t a l ali em cima), e a energia cinética inicial é 20 J , podemos achar a velocidade do centro de massa no instante inicial:

K t o t a l = 5 6 m v c m 2

De forma que:

20 = 5 6 m v c m 2

Daí tu chega aqui, vai pegar os dados e vê que... oops, não temos a massa!

Mas é ai que tá a malandragem, porque não temos a massa mas temos o momento de inércia! O momento de inércia de uma casca esférica é dado como:

I = 2 3 m r 2

Logo:

m = 3 I 2 r 2

Subsituindo os valores que conhecemos:

m = 3.0,04 2 . 0,15 2

m = 2,66   kg

Pronto! Agora sim podemos achar a velocidade do centro de massa:

20 = 5 6 m v c m 2

20 = 5 × 2,66 6 v c m 2

v c m 2 = 20 × 6 5 × 2,66 = 9

Portanto:

v c m = 3   m/s

Passo 3

Agora o problema pergunta a energia cinética total quando o objeto se locomoveu 1   m rampa a cima. Como não há dissipação de energia, vamos usar o princípio da conservação da enrgia para resolvermos.

K 1 = K 2 + U 2

Logo:

20 = K 2 + m g h

Nesse caso, a esfera oca percorre 1   m sobre a rampa, MAAAASSS, nossa rampa é inclinada um ângulo θ , de forma que a altura que ela ganha não é igual a 1   m , essa altura h é dada pela relação:

h = 1 . s e n 30 °

h = 0,5 m

Agora é só substituir:

20 = K 2 + 2,66 × 9,8 × 0,5

K 2 = 20 - 2,66 × 9,8 × 0,5

K 2 = 7   J

Passo 4

E a velocidade nesse ponto vai estar relacionada com a energia cinética total, que já calculamos lá no passo 1 , dada por:

E t o t a l = 5 6 m v c m 2 = 7

Logo:

v c m 2 = 7 6 5 m

v c m 2 = 7 ( 6 ) 5 × 2,66

v c m = 1,77   m/s

Resposta

  1. 40 %  
  2. 3   m/s
  3. 7   J
  4. 1,77   m/s
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