Enunciado

Um corpo está rolando sem deslizar. Qual é a porcentagem da energia cinética total que tem a forma de energia cinética de translação, se o objeto é (a) uma esfera uniforme, (b) um cilindro uniforme ou (c) um aro?

Passo 1

O que a gente precisa saber aqui é que a energia cinética total do corpo é dividida em cinética translacional e rotacional. Da conservação de energia:

K = K t + K r

K = m v 2 2 + I ω 2 2

O momento de inércia dos corpos é, no geral, uma constante vezes m r 2 . Além disso, sabemos da rotação que v = ω r . Daí:

K = m v 2 2 + C m r 2 v r 2 2

K = m v 2 2 + C m v 2 2

K = C + 1 m v 2 2

Daí, a fração da energia cinética total que é translacional é:

K t K = m v 2 2 C + 1 m v 2 2 = 1 C + 1

Passo 2

  1. Para a esfera uniforme:
  2. I = 2 5 m r 2 → C = 2 5

    K t K = 1 1 + 2 5 = 71.4 %

    Passo 3

  3. Para o cilindro uniforme:
  4. I = 1 2 m r 2 → C = 1 2

    K t K = 1 1 + 1 2 = 66.7 %

    Passo 4

  5. Para o aro:

I = m r 2 → C = 1

K t K = 1 1 + 1 = 50.0 %

Resposta

  1. Esfera: 71.4 %
  2. Cilindro: 66.7 %
  3. Aro: 50.0 %
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