Enunciado

Uma esfera de raio R tem uma carga q uniformemente distribuída em seu volume. Utilize a lei de Gauss e considerações de simetria para calcular o campo elétrico à distância r do centra da esfera, (a) para r < R e (b) para r > R .

Passo 1

Esse é um dos exercícios mais tradicionais sobre lei de Gauss! Temos uma esfera uniformemente carregada com carga q , de modo que sua densidade volumétrica de carga será

ρ = q V o l u m e = q 4 π R 3 3 = 3 q 4 π R 3

A lei de Gauss estabelece que a integral de fluxo do campo elétrico cobre uma superfície fechada deve ser proporcional a carga contida dentro do volume limitado pela superfície:

∮ E → ⋅ d A → = q i n t ϵ 0

Para esse problema, vamos considerar duas superfícies gaussianas esféricas, uma com raio r < R e outra com raio r ' > R :

Por simetria, o campo elétrico deve ser radial, de forma que

∮ E → ⋅ d A → = ∮ E   d A

Como o campo deve depender apenas da distância r , ele sai da integral:

∮ E → ⋅ d A → = E ∮ d A = E ⋅ 4 π r 2

Com isso, a lei de Gauss nos dá a relação:

E ⋅ 4 π r 2 = q i n t ϵ 0

Passo 2

Vamos resolver primeiro o item (b) que é mais simples. Para pontos fora da esfera de raio R , isto é, para r > R , a carga contida dentro da superfície gaussiana de raio r ' é toda a carga q da esfera, de modo que

q i n t = q

Assim,

E ⋅ 4 π r 2 = q ϵ 0

Portanto, para r > R :

E = 1 4 π ϵ 0 q r 2

Nessa situação, é como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera!

Passo 3

Agora vamos para o item (a) com r < R . Como nesse caso a esfera de raio r não envolve toda a esfera de raio R , temos que considerar apenas a carga contida dentro dela, que será a densidade ρ vezes o volume dela:

q i n t = ρ   V o l = ρ ⋅ 4 π 3 r 3

Usando a expressão para ρ que achamos no passo 1:

q i n t = 3 q 4 π R 3 ⋅ 4 π 3 r 3 = q r R 3

Repare que essa carga depende de r , o que faz sentido né? Quanto maior o raio r maior será a carga envolvida 😉.

Daí, a lei de Gauss nos dá

E ⋅ 4 π r 2 = q r 3 ϵ 0 R 3

Logo, para r < R :

E = 1 4 π ϵ 0 q R 3 r

É legal perceber que as duas fórmulas dão o mesmo valor para r = R , de modo que o campo elétrico é contínuo nesse problema: ele cresce linearmente com o raio para r < R e depois cai com o quadrado do raio para r > R .

Resposta

E = 1 4 π ϵ 0 q R 3 r ,         r < R 1 4 π ϵ 0 q r 2 ,         r > R

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