Enunciado

Uma esfera está uniformemente carregada, com carga total q . Determine o potencial V em pontos internos e externos à esfera e trace um gráfico de V em função da distância ao centro.

Passo 1

Se liga! Queremos saber o potencial dentro e fora da esfera, certo?

Então, podemos achar o campo elétrico e depois usá-lo para achar o potencial.

Vamos começar traçando uma gaussiana, tipo essa em vermelho na figura, e depois vamos usar a lei de Gauss.

Pela lei de Gauss, o fluxo é dado por

ϕ s = ∮ E d A = q i n t ϵ 0

Para uma esfera de raio r > R , temos que q i n t é a carga total da esfera, logo

q i n t = q

E a área é a área da superfície gaussiana.

A = 4 π r 2

Então o campo é

E = q 4 π ϵ 0 r 2

Passo 2

Agora vamos considerar que no infinito o potencial é zero, sendo assim

V r - V ∞ = V r = ∫ ∞ R q 4 π ϵ 0 r 2 d r = - q 4 π ϵ 0 R  

Passo 3

Para a parte interna da esfera vamos fazer de maneira análoga à parte externa.

Agora a gaussiana está na parte interna, como podemos ver na figura

Pela lei de Gauss, o fluxo é dado por

ϕ s = ∮ E d A = q i n t ϵ 0

Para uma esfera de raio r < R , temos que q i n t é a dentro da gaussiana, logo

ρ = q 4 3 π R 3 = q i n t 4 3 π r 3 ⇒ q i n t = q r 3 R 3

E a área é a área da superfície gaussiana.

A = 4 π r 2

Então o campo é

E = q r 3 R 3 4 π ϵ 0 r 2 = q r 4 π ϵ 0 R 3

Passo 4

Agora vamos considerar que no infinito o potencial é zero, sendo assim

V r - V ∞ = V r = ∫ ∞ R q 4 π ϵ 0 r 2 d r + ∫ R r q r 4 π ϵ 0 R 3 d r

= - q 4 π ϵ 0 R + q r 2 8 π ϵ 0 R 3 - q 8 π ϵ 0 R = q 8 π ϵ 0 R r 2 R 2 - 3  

Passo 5

Precisamos montar o gráfico com as funções encontradas.

Resposta

V =   q 4 π ϵ 0 R   ( F o r a )

V = q 8 π ϵ 0 R r 2 R 2 - 3 D e n t r o

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