Enunciado

Um fio metálico isolado, de resistividade ρ e seção transversal de área S , é enrolado num cilindro de raio a e comprimento l , ficando com N espiras bem juntas uma das outras. As extremidades do fio estão ligadas a um gerador de corrente alternada de frequência angular ω . Calcule:

a) A resistência R do fio.

b) A auto-indutância L do fio.

c) A diferença de fase ϕ entre a corrente I e a voltagem V através do fio.

Passo 1

Bom, o item (a) é bem simples, queremos achar a resistência elétrica do fio, que é dada por

R = ρ S ⋅ c o m p r i m e n t o

O comprimento do fio é dado por

c o m p r i m e n t o = N ⋅ 2 π a

Isso ocorre pois o fio é enrolado N vezes no cilindro de raio a . Cada enrolamento tem um comprimento 2 π a . Portanto, a resistência do fio é

R = 2 π ρ a N S

Passo 2

No item (b) queremos a autoindutância do fio. Para isso, calculamos o fluxo magnético sobre o solenoide formado pelo fio:

Φ = N ∫ B → ⋅ d A → = N B π a 2

Mas o campo magnético é o campo gerado pelo próprio fio (solenoide):

B = μ 0 N I l

Logo,

Φ = N ⋅ μ 0 N I l ⋅ π a 2

Assim,

Φ = μ 0 N 2 π a 2 l   I

Como o fluxo pode ser escrito na forma Φ = L   I , temos que a autoindutância é

L = μ 0 N 2 π a 2 l

Passo 3

Por fim, queremos achar a diferença de fase ϕ entre a corrente e a voltagem. Para isso, escrevemos

I ^ = I 0   e i ω t + ϕ           e           V ^ = V 0   e i ω t

Além disso, aplicamos a lei de Ohm com a impedância elétrica Z :

V ^ = Z   I ^ ⇒ V 0   e i ω t = Z I 0   e i ω t + ϕ

Com isso,

e i ϕ = V 0 Z I 0

Mas lembre-se que Z = R + i   ω L , onde R é a resistência elétrica e ω L é a reatância indutiva. Assim,

e i ϕ = V 0 I 0   R + i   ω L = V 0 I 0   R 2 + ω 2 L 2 ⋅ R - i   ω L

Como só estamos interessados na fase, precisamos ohar apenas para o termo R - i   ω L . Temos que

tan ⁡ ϕ = - ω L R

Assim,

ϕ = arctan ⁡ - ω L R = - arctan ⁡ ω L R

Usando as respostas dos itens (a) e (b):

ω L R = ω ⋅ μ 0 N 2 π a 2 l 2 π ρ a N S = μ 0 ω N a S 2 ρ

Portanto, a defasagem entre a corrente e a voltagem é

ϕ = - arctan ⁡ μ 0 ω N a S 2 ρ

Resposta

R = 2 π ρ a N S

L = μ 0 N 2 π a 2 l

ϕ = - arctan ⁡ μ 0 ω N a S 2 ρ

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